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2020滋賀医大第4問

$ k $ を正の整数とし, $ k $ 以下の正の整数全体の集合を $ U $ とする.すなわち, $ U=\{1,\ \cdots,\ k\} $ である. $ U $ の部分集合 $ A $ と $ U $ の要素 $ x $ に対して, $ f_A(x) $ を, $ x\in A $ ならば $ f_A(x)=1 $ , $ x\not \in A $ ならば $ f_A(x)=0 $ と定める. 例えば $ k=3 $ , $ A=\{2,\ 3\} $ のとき, $ f_A(1)=0 $ , $ f_A(2)=1 $ , $ f_A(3)=1 $ である. また, $ U $ の部分集合 $ A $ に対して, $ A $ の要素の個数を $ n(A) $ で表す.

(1)  $ A $ , $ B $ を $ U $ の部分集合, $ \overline{A} $ を $ U $ に関する $ A $ の補集合とする. \[ f_{\overline{A}}(x)=1-f_A(x),\ \quad f_{A\cap B}(x)=f_A(x)f_B(x) \] を示せ,

(2) $ A $ を $ U $ の部分集合とする. $ n(A) $ を $ f_A(1),\ \cdots,\ f_A(k) $ すべてを用いて表せ.

(3)  $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ を $ U $ の部分集合, $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ の少なくともーつに属する要素全体の集合を $ P $ とする. \[ f_P(x) =1-\left(1-f_{A_1}(x)\right)\left(1-f_{A_2}(x)\right)\left(1-f_{A_3}(x)\right)\left(1-f_{A_4}(x)\right) \] を示せ.

(4) (3)の $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ と $ P $ について考える. 整数1,2,3,4から異なる $ p $ 個を選んで $ i_1,\ \cdots,\ i_p $ とし, $ A_{i_1},\ \cdots,\ A_{i_p} $ のどれにも属する要素全体の集合 $ S $ をつくる. $ i_1,\ \cdots,\ i_p $ の選び方 $ {}_4 \mathrm{C}_p $ 通りをすべて考え, それぞれが定める集合 $ S $ を任意に並べて $ S_1^{(p)},\ \cdots,\ S_{{}_4 \mathrm{C}_p}^{(p)} $ とおく. さらに, $ \displaystyle s(p)=\sum_{i=1}^{{}_4 \mathrm{C}_p}n\left(S_i^{(p)} \right) $ とする. このとき, $ n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4) $ を示せ.   

解答