2020年入試問題研究に戻る東工大第5問
$ k $ を正の整数とし， $ \displaystyle a_k=\int_0^1x^{k-1}\sin\left(\dfrac{\pi x}{2} \right)\,dx $ とおく．
(1) $ a_{k+2} $ を $ a_k $ と $ k $ を用いて表せ．
(2) $ k $ を限りなく大きくするとき，数列 $ \{ka_k\} $ の極限値 $ A $ を求めよ．
(3) (2)の極限値 $ A $ に対し， $ k $ を限りなく大きくするとき，数列 \[ \{k^ma_k-k^nA\} \] が0ではない値に収束する整数 $ m,\ n\ (m>n\geqq 1) $ を求めよ．またそのときの極限値 $ B $ を求めよ．
(4) (2)と(3)の極限値 $ A $ ， $ B $ に対し， $ k $ を限りなく大きくするとき，数列 \[ \{k^pa_k-k^qA-k^rB\} \] が0ではない値に収束する整数 $ p $ ， $ q $ ， $ r $ $ (p>q>r\geqq 1) $ を求めよ．またそのときの極限値を求めよ．