2020年入試問題研究に戻る

和歌山医大第4番

(1)  自然数 $ k $ に対して, $ 3^k $ を約数にもつ自然数は2から30までに何個あるか.
(2)  $ 30!=6^d\cdot l $ となる自然数 $ d $ を求めよ.ただし, $ l $ は6で割り切れない自然数である.
(3)  $ n $ を自然数とし, $ p $ を素数とする. $ p^n!=p^e\cdot m $ となる自然数 $ e $ を求めよ.
ただし, $ m $ は $ p $ で割り切れない自然数である. (4)  自然数 $ n $ に対して,自然数 $ d(n),\ e(n) $ を $ 30^n!=6^{d(n)}\cdot l=5^{e(n)}\cdot m $ と定める. ただし, $ l $ , $ m $ はそれぞれ 6,5 で割り切れない自然数である. このときの極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{d(n)}{e(n)} $ を求めよ.

解答