2021年入試問題研究に戻る一橋後期3番解答
$ \displaystyle \dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} $ を用いて， $ \displaystyle \dfrac{a+b}{2}< \sqrt{ab}+\dfrac{k}{\sqrt{ab}} $ を変形すると， \[ \dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\sqrt{ab}}{2}< k \] となる．
整数 $ a $ と $ b $ が $ a>b>0 $ を満たして動くときの， $ \dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \sqrt{ab}}{2} $ の最小値を $ m $ とする． 条件を満たす整数 $ a,\ b $ が存在する実数 $ k $ の範囲は， $ m< k $ である．
$ b $ を固定し $ \dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \sqrt{ab}}{2} $ を $ a $ の関数と考える． これは $ a $ の単調増加関数であるから， $ a=b+1 $ のときに最小値 $ \dfrac{(\sqrt{b+1}-\sqrt{b})^2\sqrt{(b+1)b}}{2} $ をとる．
ここで $ (\sqrt{b+1}-\sqrt{b})(\sqrt{b+1}+\sqrt{b})=b+1-b=1 $ であるから， \begin{eqnarray*} &&\dfrac{(\sqrt{b+1}-\sqrt{b})^2\sqrt{(b+1)b}}{2} =\dfrac{\sqrt{(b+1)b}}{2(\sqrt{b+1}+\sqrt{b})^2} =\dfrac{\sqrt{(b+1)b}}{2\{2b+1+2\sqrt{b(b+1)}\}}\\ &=&\dfrac{1}{2\cdot\dfrac{2b+1}{\sqrt{b(b+1)}}+4} =\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{\dfrac{4b^2+4b+1}{b^2+b}}+4} =\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{4+\dfrac{1}{b^2+b}}+4}\\ \end{eqnarray*} したがって， $ \dfrac{(\sqrt{b+1}-\sqrt{b})^2\sqrt{(b+1)b}}{2} $ が最小になるのは， $ \sqrt{4+\dfrac{1}{b^2+b}} $ が最大のときで，それは $ b^2+b $ が最小のときである．よって， $ b=1 $ で最小となり， \[ m=\dfrac{(\sqrt{1+1}-\sqrt{1})^2\sqrt{(1+1)1}}{2} =\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2 \] である．したがって，条件を満たす $ k $ の範囲は \[ \dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2< k \] である．