2022年入試問題研究に戻る京大理系3番解答
正の整数 $ a $ ， $ b $ ， $ q $ ， $ r $ の間に $ a=bq+r $ の関係式が成りたつとする． このとき， $ a $ と $ b $ の公約数は $ b $ と $ r $ の公約数であり， $ b $ と $ r $ の公約数は $ a $ と $ b $ の公約数であるから， それぞれの公約数の集合は一致し， $ a $ と $ b $ の最大公約数と $ b $ と $ r $ の最大公約数は相等しい． \begin{eqnarray*} n^4+2&=&(n^2+2)(n^2-2)+6\\ n^6+2&=&(n^2+2)(n^4-2n^2+4)-6． \end{eqnarray*} であるから， $ n^2+2 $ と $ n^4+2 $ の最大公約数は $ n^2+2 $ と6の最大公約数であり， $ n^2+2 $ と $ n^6+2 $ の最大公約数は $ n^2+2 $ と6の最大公約数である．
よって， $ A_n $ は $ n^2+2 $ と6の最大公約数に一致する．
以下合同式の法は6とする．
$ n\equiv 0 $ のとき． $ n^2+2\equiv 2 $ であるから， $ A_n=2 $ ．
$ n\equiv 3 $ のとき． $ n^2+2\equiv 5 $ であるから， $ A_n=1 $ ．
$ n\equiv 1,\ 5 $ のとき． $ n^2+2\equiv 5 $ であるから， $ A_n=3 $ ．
$ n\equiv 2,\ 4 $ のとき． $ n^2+2\equiv 0 $ であるから， $ A_n=6 $ ．
よって， \[ A_n= \left\{ \begin{array}{ll} 2&(n\equiv 0)\\ 1&(n\equiv 3)\\ 3&(n\equiv 1,\ 5)\\ 6&(n\equiv 2,\ 4) \end{array} \right. \] である．