2022年入試問題研究に戻る京大文系4番
$ \mathrm{P}\left(p,\ -\dfrac{1}{p} \right) $ ， $ \mathrm{Q}\left(q,\ -\dfrac{1}{q} \right) $ とおく．条件より $ p< 0 $ ， $ q >0 $ である． このとき，直線 PQ の傾きは \[ \dfrac{-\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}}{p-q}=\dfrac{1}{pq} \] なので，直線 PQ の方程式は \[ y=\dfrac{1}{pq}(x-p)-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{pq}x-\dfrac{p+q}{pq} \] である．これより， \[ \mathrm{R}\left(0,\ -\dfrac{p+q}{pq} \right),\ \mathrm{S}(p+q,\ 0) \] である．
P，Q，R，S が同一直線上にあるので， 比 $ \dfrac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}} $ は，それぞれの線分を $ x $ 軸に正射影したものの長さの比に等しい． よって，条件は \[ \dfrac{q-p}{p+q}=\sqrt{2} \] と同値である．これから \[ q(1-\sqrt{2})=p(1+\sqrt{2}) \] 線分 PQ の中点を $ (X,\ Y) $ とおく． \[ X=\dfrac{p+q}{2},\ \ \ Y=\dfrac{-\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}}{2}=-\dfrac{p+q}{2pq} \] である． \[ p+q=p+\dfrac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}p=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}p,\ \ \ pq=\dfrac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}p^2 \] なので， \begin{eqnarray*} Y&=&-\dfrac{p+q}{2pq} =-\dfrac{\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}p}{2\cdot\dfrac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}p^2}\\ &=&-\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{p}=(1-\sqrt{2}) \dfrac{1}{p}\\ &=&\dfrac{2}{p+q}=\dfrac{1}{X} \end{eqnarray*} よって，線分 PQ の中点の軌跡は \[ y=\dfrac{1}{x}\ \left(x>0\right) \] である．