2022年入試問題研究に戻る

京大特色理学部4番

0以上1未満の実数 $ p $ を固定する． $ n $ を正の整数とし， $ xy $ 平面上の領域 $ D_n $ を $ x+y\leqq n $ で定める． $ xy $ 平面上の点 $ P_0(0,\ n) $ から始まる点列 $ P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots $ を以下の条件を満たすように定める．

　(A) $ P_k(x_k,\ y_k) $ が $ y_k>0 $ を満たすならば，

(i) 確率 $ p $ で $ P_{k+1} $ を $ P_{k+1}(x_k+1,\ y_k) $ とおく．
(ii) 確率 $ 1-p $ で $ P_{k+1} $ を $ P_{k+1}(x_k,\ y_k-1) $ とおく．

　(B) $ P_k(x_k,\ y_k) $ が $ y_k=0 $ を満たすならば $ P_{k+1} $ を $ P_k $ とおく．

このとき，以下の設問に答よ．

(1) $ p=\dfrac{1}{2} $ のとき， $ P_{n+k} $ が $ (k,\ 0) $ となる確率を $ p_{n,k} $ とする．このとき \[ \sum_{k=0}^{\infty}kp_{n,k} \] を求めよ．
(2) 各々の $ n $ に対し，上の操作で実現可能な点列 $ P_0(0,n),\ P_1,\ P_2,\ \cdots ,\ P_{2n} $ で， これらすべての点が $ D_n $ に属するものの総数を $ C_n $ とする．また， $ C_0=1 $ とする．このとき， \[ C_{n+1}=\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k} \] が成り立つことを示せ．
(3) $ P_0(0,n),\ P_1,\ P_2,\ P_3,\ \cdots $ のすべての点が領域 $ D_n $ に属する確率を $ q_n $ とする． このとき， \[ \lim_{n \to \infty}q_n \] を $ p $ を用いて表せ．

ただし，正の実数の列 $ \{a_n\} $ が，任意の正の整数 $ m $ に対して $ \displaystyle \sum_{j=1}^ma_j\leqq 1 $ を満たすとき，以下が成り立つことを用いてもよい．

・ 極限 $ \displaystyle \lim_{m \to \infty}\sum_{j=1}^ma_j $ が存在する．この極限値を $ a $ とすると $ a\leqq1 $ ．
・ $ a $ の値は実数の列 $ \{a_n\} $ の順番を入れ替えても変わらない．