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大阪公立大 後期 第5問解答

問1 　 $ K $ の頂点の数を $ v $ ，辺の数を $ e $ とする．
$ K $ に関するオイラーの多面体定理より \[ v-e+f=2 \] が成り立つ．
$ v=24 $ ， $ e=36 $ であるから， $ f=14 $ である．

問2 　正方形と正六角形の頂点の角は $ \dfrac{\pi}{2} $ と $ \dfrac{2\pi}{3} $ である． 1つの頂点に，4つ以上の面が集まると，その周りの頂点の角度の和が $ 2\pi $ 以上となり，凸多面体とならない． 面の数が2では，頂点にならない．
よって，1つの頂点に集まる面の数は3である．

問3 　 $ K' $ の頂点の数を $ v' $ ，辺の数を $ e' $ ，面の数を $ f' $ とする．
$ K' $ の正方形の面の数を $ a $ ，正六角形の面の数を $ b $ とする．
このとき， $ f'=a+b $ であり，重ね置かずに数えれば，それぞれ辺の数は $ 4a $ と $ 6b $ で，辺は $ 4a+6b $ ある． 2つの辺で1つの辺が作られ，問2から3つの辺で1つの頂点が作られるので， $ e'=\dfrac{4a+6b}{2} $ ， $ v'=\dfrac{4a+6b}{3} $ である．
$ K' $ に関するオイラーの多面体定理より \[ v'-e'+f'=\dfrac{4a+6b}{3}-\dfrac{4a+6b}{2}+a+b=2 \] これから $ a=6 $ である．

問4 　 1つの頂点に集まる3つの面の，それぞれその頂点を含む多角形の頂点の角度の和は $ 2\pi $ より小さいので， ある頂点を共有する多角形とその辺の数は，重ね置かずに数えれば \[ \begin{array}{ll} 正六角形2個:辺4&，正方形1個:辺2\\ 正六角形1個:辺2&，正方形2個:辺4\\ 正六角形0個:辺0&，正方形3個:辺6 \end{array} \] のいずれかであり，何れにおいても \[ 正六角形の辺の数\leqq （正方形の辺の数）\times 2 \] が成り立っている． これが，各頂点で成り立つので，すべての頂点についてのこの辺数に関する不等式の和をとると， \[ 6b\leqq 4a \times 2 \] を得る． $ a=6 $ を代入することによって， \[ 6b\leqq 48 \] これから $ b\leqq 8 $ となり \[ f'=a+b=6+b\leqq 6+8=14=f \] が成立する． $ f\geqq f' $ であることが示めされた． 　

※　 $ K $ のことを切頂八面体という． 八面体の頂点を一定のところで切り落とした立体である．

問題