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京大特色理学部3番

複素数の数列 $ \{z_n\} $ に対する次の2つの条件を考える。

(i) すべての自然数 $n$ に対して,$|z_n-z_{n+1}=2^n|$ が成り立つ.

(ii) すべての自然数 に対して, \[ \dfrac{(z_n-z_{n+1})(z_{n+2}-z_{n+3})}{(z_{n+1}-z_{n+2})(z_{n+3}-z_n)} \] は実数である.

複素数の数列 $\{z_n\}$ で (i) と (ii) をともに満たすものをすべて考えたとき, \[ \dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}} \] がとり得る値をすべて求めよ.