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京大特色理学部4番

自然数 $n$ に対して，関数 $f_n(x)$ を次で帰納的に定める． \begin{eqnarray*} &&f_1(x)=\sin (x)\\ &&f_n(x)=\sin \left(f_{n-1}(x)\right)\ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \end{eqnarray*} また，$L$ を正の実数とし， \[ f_n(a)-\dfrac{a}{L}=0 \] を満たす実数 $a$ の個数を$A_{L,n}$ とする．このとき，以下の設問に答えよ． (1) $L\leqq 1$ のとき， $\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_{L,n}$ の値を求めよ．
(2) $L>1$ のとき， $\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_{L,n}$ の値を求めよ．
ただし， 0 以上の実数からなる数列 $\{a_n\}$ が，任意の $n$ に対して $a_{n+1}\leqq a_n$ を満たすとき，数列 $\{a_n\}$ が収束することを用いてもよい．
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