20c年入試問題研究に戻る

98京大後期理系

$ a $ は $ 0 < a < \pi $ を満たす定数とする． $ n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots $ に対し， $ n \pi < x < (n+1)\pi $ の範囲に $ \sin(x+a)=x\sin x $ を満たす $ x $ がただ一つ存在するので，この $ x $ の値を $ x_n $ とする．

(1)　極限値 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n-n\pi) $ を求めよ．

(2)　極限値 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x_n-n\pi) $ を求めよ．

解答

(1)　 $ n $ が偶数のとき $ x_n\sin x_n\geqq 0 $ ． $ n \pi < x< (n+1)\pi $ の範囲で $ \sin(x_n+a)\geqq 0 $ となるのは $ n \pi < x\leqq (n+1)\pi-a $ のときである．よって $ n \pi < x_n< (n+1)\pi-a $ であり， $ n $ が奇数のときも同様である． ここで $ y_n=x_n-n\pi $ とおく．上記より $ 0< y_n< \pi-a $ である． $ \sin(x_n+a)=x_n\sin x_n $ より \[ \sin(y_n+n\pi+a)=(y_n+n\pi)\sin (y_n+n\pi) \] これより \[ (-1)^n\sin(y_n+a)=(-1)^n(y_n+n\pi)\sin y_n \] なので， \[ |\sin y_n|=\left|\dfrac{\sin(y_n+a)}{y_n+n\pi}\right|\leqq \left|\dfrac{1}{y_n+n\pi}\right| \] より $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sin y_n=0 $ ． $ 0< y_n< \pi-a $ で $ \sin $ は連続関数なので， \[ \lim_{n \to \infty}(x_n-n\pi)=\lim_{n \to \infty} y_n=0 \]

(2)　\[ n(x_n-n\pi)=ny_n=\dfrac{y_n}{\sin y_n}\cdot n\sin y_n \] ここで， \[ \sin(y_n+a)-y_n\sin y_n=n\pi\sin y_n \] より， \[ n\sin y_n=\dfrac{\sin(y_n+a)-y_n\sin y_n}{\pi} \] (1)から $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0 $ なので， \[ \lim_{n \to \infty}n\sin y_n=\dfrac{\sin a}{\pi} \] また， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{y_n}{\sin y_n}=1 $ である．よって \[ \lim_{n \to \infty}n(x_n-n\pi)=\lim_{n \to \infty}n y_n=\dfrac{\sin a}{\pi} \]