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98慶応医

(1)  $ xy $ 平面の楕円 $ x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 $ の2点 $ \mathrm{P}(\cos\theta,\ 2\sin\theta) $ , $ \mathrm{Q}(\cos(\theta+h),\ 2\sin(\theta+h)) $ をとる. ただし, $ 0< \theta< \dfrac{\pi}{2},\ h\ne 0 $ とする.2点 $ \mathrm{P},\ \mathrm{Q} $ におけるこの楕円の法線の交点は, $ h\to 0 $ とするとき,ある点 $ \mathrm{R} $ に近づく.この点 $ \mathrm{R} $ を求めよう.
まず,点 $ \mathrm{P} $ における法線の方程式は $ y=\fbox{  ア  } $ である. 次に,2点 $ \mathrm{P},\ \mathrm{Q} $ における法線の交点の $ x $ 座標を求めると, $ x=\fbox{  イ  } $ である. この $ x $ 座標は $ h\to 0 $ とするとき, $ \fbox{  ウ  } $ に収束する.これが求める点 $ \mathrm{R} $ の $ x $ 座標である. 点 $ \mathrm{R} $ の $ y $ 座標は $ y=\fbox{  エ  } $ であ

(2)  $ \theta $ が $ 0< \theta< \dfrac{\pi}{2} $ の範囲を動くとき, 対応する点 $ \mathrm{R} $ が描く曲線の概形を描け. また,この曲線に両端の点を付け加えて得られる曲線の長さを求めよ.

解答