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04年

$\angle \mathrm{A}=2\alpha$， $\angle \mathrm{B}=2\beta$， $\angle \mathrm{C}=2\gamma$とする． 直線$\mathrm{AA'}$と直線$\mathrm{B'C'}$の交点を$\mathrm{K}$とする．円周角の定理を用いることにより $\bigtriangleup \mathrm{KB'A'}$において

$$\begin{eqnarray*} \angle \mathrm{KA'B'}&=&\angle \mathrm{AA'B'}=\angle \mathrm{A... ...}\\ &=&\angle \mathrm{C'CB}+\angle \mathrm{BAA'} =\gamma+\alpha \end{eqnarray*}$$

$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$なので $\angle \mathrm{A'KB'}=\dfrac{\pi}{2}$．つまり

$$\mathrm{AA'}\bot\mathrm{B'C'} \quad \cdots\maru{1}$$

外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}= \overrightarrow{\mathrm{OA'}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB'}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC'}}$$

とおく． $\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OB'}}\right\vert=\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OC'}} \right\vert$なので

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{A'H}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{B'C'... ...\vert^2 -\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OC'}} \right\vert^2=0 \end{eqnarray*}$$

つまり

$$\mathrm{A'H}\bot \mathrm{B'C'}$$

$\maru{1}$とあわせて 点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AA'}$上にある． $\maru{1}$と同様に

$$\mathrm{BB'}\bot\mathrm{C'A'},\ \mathrm{CC'}\bot\mathrm{A'B'},\$$

もなり立つ．よって同様に点$\mathrm{H}$は 直線$\mathrm{BB'}$，直線$\mathrm{CC'}$上にもあり 3直線は1点$\mathrm{H}$で交わることが示された． この点を垂心というのは垂心の定義である．