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期待値が自然対数の底

問題 4.9       解答4.9

【問題甲】
$n$は自然数である. 箱の中に数字 $1,\ 2,\ \cdots,\ n$を書いた札が1枚ずつ入っている. この箱の中から無作為に札を1枚取り出し,札に書かれている数字を 記録してから札を箱の中に戻すという試行を繰り返す. そして,記録された数字の合計がはじめて$n$より大きくなったときに 試行を終えるものとする.

  1. この試行が$k$回で終わる確率を求めよ.
  2. 試行が終わるときまでの試行の回数の期待値を $E_n$ とする. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} E_n$ の値を求めよ.

【問題乙】
開区間$(0,\ 1)$から無作為に実数$a$を選び記録する試行をくりかえす. 記録された数字の合計がはじめて1より大きくなる回数の期待値を求めよ.


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