次: 放物線の法線からできる3次方程式 上: 代数分野 前: ある形の数の約数の和

方程式の係数と解の配置

問題 1.5       解答1.5

方程式の解の配置に関する次の問いに答えよ．

1. $n+1$個の 正の実数 $b_0,\ b_1,\ \cdots,\ b_n$ に対し，方程式
   
   $$b_0x^n-b_1x^{n-1}-b_2x^{n-2}-\cdots -b_n=0 \quad \cdots \maru{1}$$
   
   
   は正の実数解をただひとつもつことを示せ．
2. 1の正の解を $r$ とする．1の任意の解 $\alpha$ に対し
   
   $$\vert\alpha\vert\le r$$
   
   
   であることを示せ．
3. $n+1$個の 正の実数 $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$ が
   
   $$a_0>a_1> \cdots> a_n>0$$
   
   
   を満たすとき，方程式
   
   $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_n=0$$
   
   
   の任意の解 $\alpha$ はすべて
   
   $$\vert\alpha\vert<1$$
   
   
   を満たすことを，関数 $g(x)=(x-1)(a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n)$を用いて示せ．