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本文

パスカル十六歳の著作『円錐曲線試論』を読み解くことからはじめよう．それは一枚の紙に印刷された文書であり，証明ぬきに考え方と結論を書き記したものである．原文が残っている．フランス国立図書館のサイトに『Essay pour les Coniques』がある．また『幾何学大辞典1』[49]にも写真版で紹介されている．次はその写しである．

フランス語原文は『 L'≪Essay pour les Coniques≫ de Pascal』[12]に校正をつけて収められている．訳にあたってはこれを用いた．その全文を入力した．誤記の責任は筆者にある．

ESSAY POUR LES CONIQUES     Par B.P.

DÉFINITION　PREMIÈRE

     Quand plusieurs lignes droites concourent à même point, ou sont toules parallèles entre elles, toutes ces lignes sont dites de même ordre ou de même ordonnance, et la multitude de ces lignes est dite ordre de lignes, ou ordonnannce de lignes.

DÉFINITION　II

     Par le mot section de Cône, nous entendons la circonférence du Cercle, l'Ellipse, l'Hyperbole, la Parabole, et l'angle rectiligne, d'autant qu'un Cône coupé parallèlement à sa base, ou par son sommet, ou des trois autres sens qui engendrent l'ellipse, l'hyperbole et la parabole engendre dans la superficie conique, ou la circonférence d'un cercle ou un angle, ou l'ellipse, ou l'hyperbole, ou la parabole.

DÉFINITION　III

     Par le mot de droite mis seul, nous entendons ligne droite.

LEMME I

     Si dans le plan M，S，Q, du point M partent les deux droites MK, MV, et du point S, partent les deux droites SK, SV, et que K soit le concours des droites MK, SK, et V, le concours des droites MV, SV, et A, le concours des droites MK, SV, et $\mu$, le concours des droites MV, SK, et que par deux des quatre points AK$\mu$V, qui ne soient point en même droite avec les points M, S, comme par les points K, V, passe le circonférence d'un cercle coupant les droites MV, MK, SV, SK, ès points O, P, Q, N, je dis que les droites MS, NO, PQ sont de même ordre.

LEMME II

     Si par la même droite passent plusieurs plans qui son soient coupés par un autre plan, toutes les lignes des sections de ces plans sont de méme ordre avec la droite par laquelle passent lesdits plans.

     Ces deux Lemmes posés et quelques faciles conséquences d'iceux, nous démontrerons que les même choses étant posées qu'au premier Lemme, si par points K, V, passe une quelconque section de Cône qui coupe les droites MK, MV, SK, SV, ès points P, O, N, Q, les droites MS, NO, PQ seront de même ordre, cela sera un trosième Lemme.

     En suite de ces trois Lemmes et de quelques conséquences d'iceux, nous donnnerons des Êléments Coniques complets, à savoir toutes les propriétés des diamètres et côtés droites, des tangentes, etc., la restitution du cône presque sur toutes les données, la description des section de Cône par points, etc.

     Quoi faisant, nous énonçons les propriétés que nous en touchons d'une manière plus universelle qu'à l'ordinaire. Par example, cell-ci, si dans le plan MSQ, dans la sention de cône PKV, sont menées les droites AK, AV, atteignant la section aux points PK, QV, et que deux de ces quatre points qui ne sont point, en méme droite avec le point A, comme par les points K, V, et par deux points N, O, pris dans le bord de la section sont menées quatre droites KN, KO, VN, VO, coupant les droites AV, AP, aux points S, T, L, M, je dis que la raison composée des raison de la drote PM, à la droite MA, et de la droite AS, à la droite SQ, est la même que la composée des raisons de la droite PL, à la droite LA, et de la droite AT à la droite TQ.

     Nous démontrerons aussi que s'il y a trois droites DE, DG, DH, que les droites AP, AR, coupent aux points F, G, H, C, $\gamma$, B, et que dans la droite DC sont déterminé le point E, la raison composée des raisons du rectangle EF, en FG, au rentangle de EC, en C$\gamma$, et de la droite A$\gamma$ à la droite AG, et la même que la composée des raisons du rectangle EF, en FH , au rectangle EC, en CB, et de la droite AB, à la droite AH. Et est aussi la même que la raison du rectangle des droites FE, FD au rectangle des droites CE, CD ; partant, si par les points E, D, passe une section de Cône qui coupe les droites AH, AB, ès points P, K, R, $\psi$, la raison composée des raison du rectangle des droites EF, FG au rectangle des droites EC, C$\gamma$, et de la droite $\gamma$A, à la droite AG, sera la même que la composée des raisons du rectangle des droites FK, FP, au rectangle des droites CR, C$\psi$, et du rectangle des droites AR, A$\psi$, au rectangle des droites AK, AP．

     Nous démontrerons aussi que s'il y a quatre droites AC, AF, EH, EL, s'entrecoupent ès points N, P, M, O, et qu'une section de Cône coupe les dites droites ès points C, B, F, D, H, G, L, K, la raison composée des raisons du rectangle de MC, en MB, au rectangle des droites PF, PD, et du rectangle des droites AD, AF, au rectangle des droites AB, AC, est la même que la raison composée des raisons du rectangle des droites ML, MK, au rectangle des droites PH, PG, et du rectangle des droites EH, EG, au rectangle des droites EK, EL.

     Nous démontrerons aussi cette propriété, dont le premier inventeur est M. Desargues Lyonnais, un des grands esprits de ce temps, et des plus versés aux Mathématiques, et entre autres aux Coniques, dont les écrits sur cette matière, quoiqu'en petit nombre, en ont donné un ample témoignage à ceux qui en auront voulu recevoir l'intelligene et je veux bien avouer que je dois le peu que j'ai trouvé sur cette matière à ses écrits, et que j'ai tâché d'imiter autant qu'il m'a été possible sa méthode sur ce sujet, qu'il a treité sans se sevnir du triangle par l'axe. Et traitant généralement de toutes les sections de Cône, la propriété merveilleuse dont il est question est telle : si dans le plan MSQ il y a une section de Cône PQV dans le bord de laquelle ayant pris les quatre points K, N, O, V, sont menées les droites KN, KO, VN, VO, de sorte que par un même des quatre pointes ne passant que deux droites, et qu'une autre droite coupe tant le bord de la section aux points R, $\psi$ que les droites KN, KO, VN, VO, és points x, y, Z, $\delta$, je dis que comme le rectangle des droites ZR, Z$\psi$, est au rectangle des droites yR, y$\psi$, ainsi le rectangle des droites $\delta$R, $\delta\psi$ est au rectangle des droites xR, x$\psi$.

     Nous démontrerons aussi que si dans le plan de l'hyperbole, ou de l'ellipse, ou du cercle AGE, dont le centre est C, on même la droite AB, touchant au point A la section, et qu'ayant même le diamètre CA, on prenne la droite AB dont le careé soit égal au quart du rectangle de la figure, et qu'on même CB, alors, quelque droite qu'on mne, commne DE, parallèle la droite AB, coupant la section en E, et les droites AC, CB, ès points D, F, si la section AGE est une ellipse ou un cercle la somme des carrés des droites DE, DF, sera égal au carré de la droite AB. et dans l'hyperbole, la différence des même carrés des droires DE, DF, sera égale au carré de la droite AB.

     Nous déuirons aussi qulques problèmes, par example d'un point donné mener une droite touchant une section de Cône donnnée.

     Trouver deux diamètres conjungués en angle donnée.

     Trouver deux diamètres en angle donné et en raison donnée.

     Nous avons plusieurs autres Problèmes et Théorèmes et plusieurs conséquences des précédents, mais la défiance que j'ai de mon peu d'expérience et de capacité ne me permet pas d'en avancer davantage avant qu'il ait passé à l'examen des habiers gens, qui voudront bien nous obliger d'en prendre la peine ; après quoi si l'on juge que la chose mérite d'être continuée, nous essaierons de la pousser jusqu'où Dieu nous donnera la force de la conduire.

A PARIS, M. DC. XL.

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