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同様に確からしい

確率とは何か．その基本が分からなければいつまでも苦手である． また，確率問題では，事象の確率をどのように定めるのか， あるいは「何が同様に確からしいのか」を定めるのか，それが指示されず， そこを常識の範囲で考えなければならないこともあり， そこにも難しさがある．次の例を考えよう．

例 1        区別のつかない硬貨を2枚同時に投げる． 2枚の表裏が一致する確率を求めよ．

解答

硬貨が区別されないので 試行の結果は(表，表)，(表，裏)，(裏，裏)の3通りある． このうち2枚の表裏が一致する場合は2通り． よって求める確率は $\dfrac{2}{3}$ ．

この解答は正しくない． では，なぜ正しくないのか，指摘できるだろうか．

上の例の計算では， 該当する出方の総数を，すべての出方の場合の数で割っている． つまり， 「区別がないのだから(表，表)，(表，裏)，(裏，裏)の3通りは起こる確率は等しい」と 勝手にしている．

1枚の硬貨が表であるか裏であるかが同様に確かで，各確率は$\dfrac{1}{2}$である． よって1枚目の硬貨が表裏か，2枚目の硬貨が表裏かを区別しなければならない． $(1枚目，2枚目)$の出方は

$$(表，表)，(表，裏)，(裏，表)，(裏，裏)$$

の4通りある．これらが同様に確かとなる． このうち2枚の表裏が一致する場合は2通り． よって求める確率は $\dfrac{2}{4}$ としなければならない．

(表，表)，(表，裏)，(裏，表)，(裏，裏)の4通りが同様に確かである根拠は何か． それは

1. 1枚の硬貨を投げたときに，表がでるか裏がでるかが同様に確からしい．
2. 2枚の硬貨を投げる試行で， 各々の硬貨についての事象は互いに影響しない．

ということである． つまり1枚の硬貨について表が出る確率，裏が出る確率がそれぞれ$\dfrac{1}{2}$． 1枚目が表であれ，裏であれ，2枚目が表になるか裏になるかは，同様に確かである． すると2枚の硬貨を投げるなら， それぞれの硬貨の表裏の組合せ， 「(表，表)，(表，裏)，(裏，表)，(裏，裏)」の4通りが同様に確からしい． 事象の総数が4であるから，各確率はそれぞれ$\dfrac{1}{4}$である． ここまで考えれば，納得がいく．

この方面で間違いやすい問題を紹介する．次の問題の(4)を注意して解いてみよう．

問題 1       ［2000年長崎総合科学大学］     解答1

12人の人がボールを1個ずつ持っていて，順番に A，B，C の箱のいずれかに入れていく ものとする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，同名の人はなく，空の箱が あってもよいものとする．

1. ボールに自分の名前を書いて箱に入れていく場合，ボールの入り方は 何通りあるか．
2. ボールに自分の名前を書いて箱に入れていく場合，A にちょうど8個の ボールが入る入り方は何通りあるか．
3. ボールに名前を書かずに箱に入れていく場合，A，B，C の箱に入った ボールの個数の組み合わせは何通りあるか．
4. ボールに名前を書かずに箱に入れていく場合，8個以上のボールが入る 箱がある確率を求めよ．