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不定方程式の整数解

未知数が$x$と$y$，あるいは$x,\ y,\ z$など2個以上あり，係数が整数である方程式， 例えば

$$2x+3y=1,\ xy-2x-3y+1=0,\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1,\ x^2-3y^2=1$$

のようなものでは，実数の解は無数にある．解が定まらないので不定方程式という． ところが，これらの方程式を満たす整数の組となると， 有限個であったり，すべてが書き下せたり，あるいは存在しなかったり，さまざまに変化する．不定方程式の整数解すべてを求めることはできるのか． 一般的に書くことができるのか．これが整数の主要な問題の一つである．

とくに一次不定方程式：

$$5x+2y=1,\ 7x-5y=3$$

の整数解が重要なテーマである．$5x+2y=1$の整数解という問題では

$$\cdots,\ 5(-2)+2(3)=1,\ 5(1)+2(-2)=1,\ 5(3)+2(-7)=1,\ \cdots$$

といくつもある．すべての解を求める，あるいは解の一般形を求めるという問題が生まれる． さらに，$5x+2y=1$は暗算で解が一組は求まったが，

$$37x+13y=1$$

となると，すぐには見いだせないし，そもそも解の存在からして明らかではない．

どのような条件で解が存在するのか． 一次不定方程式の解の存在条件と，すべての解を求める問題を解決しよう． ここでそのうち重要な二つを紹介する．