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根号について

南海　 先日も根号に関して掲示板質問があった． 次のどこが間違っているのか．

例 1.4.4  

「$-1=1$」を証明するという次の論証の誤りを指摘せよ．

$$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}&=&\sqrt{-1}\\ \sqrt{\dfrac{1}{-1}}&=&\sqrt{\dfrac{-... ...qrt{1}\cdot\sqrt{1}&=&\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\\ ∴ \quad 1&=&-1 \end{eqnarray*}$$

史織　 これは2行目から3行目への移行が言えません．つまり一般に

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

は $a,\ b$ が正の数のときしか使ってはいけないと習いました．

南海　 その通りである．ではなぜ正の数のときしか使ってはいけないのだろうか． すこし考えておこう．一般に

$$\sqrt[n]{a}$$

は何を表すのか．

史織　 0でない任意の複素数 $a$ に対して

$$x^n=a$$

の根root は全部で $n$ 個ある．そのうちのどれかですが…．

南海　 悪い悪い．質問は，どのように決めればよいか，ということだ． $a$ が実数のときとしよう．

史織　 $a$ が正の実数なら $n$ 個の根のうち正の実数のもの，つまり

$$x^n=a$$

の根で偏角が0のものを表す．そうでないときは…．

$a$が負でも， $n$ が奇数なら，$x^n=a$の実数根は一つだから，それを表すのですね．

$a$が負で$n$が偶数なら$x^n=a$の実数根は2つあるからどれをとるかが難しい．

南海　 $a=-b$ とする． $b>0$ である．このとき$\sqrt[n]{b}$は正実数のものに決まる． それに$\sqrt[n]{-1}$をかけることにすればよいのだが， $n\ge 4$ に対しては 複雜で記号としての意味がない．例えば $x^4=-1$ の4つの根は？

史織　

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\pm 1\pm i)$$

の4つですから$\sqrt[4]{-1}$をどれにするかは決められない．

南海　 そこで $n=2$ のときは$\sqrt{-1}$として $i$ をとることに決めるのだ．

史織　

ですね．

したがって

ですね．

だから $\dfrac{1}{i}=-i$ なので無理に書けば

$$\dfrac{1}{\sqrt{-1}}=-\sqrt{-1}$$

です．

南海　 まとめると $a,\ b$が正なら

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$

であるが，負が混じると成立しない．