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終結式

南海　 不変式の問題に進む前に，判別式と関連して終結式を考えておこう． 終結式も高校数学でもっと取り上げるようにしたいものである．

定義 4 (終結式)
$x$の二つの整式$f(x)$と$g(x)$がある． その根をそれぞれ $\alpha_i\ (i=1,\ \cdots,\ m)$， $\beta_j\ (j=1,\ \cdots,\ n)$とする．

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&a_0x^m+a_x^{m-1}+\cdots+a_m=a_0\prod_{i=0}^m(x-\alpha_... ... g(x)&=&b_0x^n+b_x^{n-1}+\cdots+b_n=b_0\prod_{j=0}^n(x-\beta_j) \end{eqnarray*}$$

である．このとき

$$R={a_0}^n{b_0}^m\prod(\alpha_i-\beta_j)$$

とおく．積 $$\prod$$において $i$は $i=1,\ \cdots,\ m$， $j$は $j=1,\ \cdots,\ n$の上にわたる． $mn$個の積である．

$R$を方程式 $f(x)=0,\ g(x)=0$， または整式$f(x),\ g(x)$の終結式という．

定義からただちに

$$\begin{eqnarray*} R &=&{a_0}^ng(\alpha_1)g(\alpha_2)\cdots g(\alpha_m)\\ &=&(-1)^{mn}{b_0}^mf(\beta_1)f(\beta_2)\cdots f(\beta_n) \end{eqnarray*}$$

とも表せることが分かる．

整式を明示したいときは$R(f,\ g)$とも書こう．

$R$は $\alpha_i\ (i=1,\ \cdots,\ m)$に関して対称で， $\alpha_1$に関して$n$次である． また $\beta_j\ (j=1,\ \cdots,\ n)$に関して対称で， $\beta_1$に関して$m$次である． これから$R$は係数 $a_0,\ \cdots,\ a_m$および $b_0,\ \cdots,\ b_n$の整式となる．

耕介　 $f(x)$と$g(x)$に共通根が存在することと $R(f,\ g)=0$が同値にになる，ということでしょうか．

南海　 その通りである． また終結式は$f(x)=0$と$g(x)=0$から$x$を消去し， 係数だけの関係を作ったのであるともいえる．

耕介　 共通根があるということは，同じ$x$の値で成立することなので， 消去した関係が成り立つことと同値である，のですね．

南海　 その通りである． そこで，$f(x)$も$g(x)$も２次式の場合，終結式を求めてみてほしい．

耕介　

例 1.2  

$$f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2,\ g(x)=b_0x^2+b_1x+b_2$$

とし，$f(x)$の根を$\alpha$と$\beta$とする．

$$a_0(\alpha+\beta)=-a_1,\ a_0\alpha\beta=a_2$$

なので

$$\begin{eqnarray*} R(f,\ g)&=&{a_0}^2g(\alpha)g(\beta)\\ &=&{a_0}^2(b_0\alpha^... ...{b_2}^2\\ &=&(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) \end{eqnarray*}$$

となります．

南海　 この式はどこかで見たことがないだろうか． 文字が違うので気づかなかったかも知れない． 『数学対話』−「ポンスレの定理」の「楕円と円，$n=4$の場合」にある．このときは，消去法として用いた．