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六球連鎖

南海　 以上の準備のもと，いわゆる六球連鎖の定理を反転を用いて示そう．

　イギリスのノーベル化学賞受賞者Sir Frederik Soddy（1877-1956）は雑誌 Nature（1936)において球の接触問題に関してThe Hexlet（6球連鎖）なる次の定理を発表した．

　これには4個の互いに接する球に関する定理が使われている． 発表当時は見事な定理として世界的に話題になった． ところが，この定理は，百年以上前の1822年， 相州（現在の神奈川県）の寒川神社に掲げられた算額にすでに記されていた． これは『日本の幾何』に詳しい． またウエブサイト　Japanese Temple Geometry にも英文で紹介されている．

定理 9
互いに接する3個の球 $O_0,\ O_1,\ O_2$のどれにも接する球の連鎖 $C_i$の個数は，常に6個となり，さらに次々の球の半径を $r_i\ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6)$と すれば $\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_4}=\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_5}$が成立する．

南海　 方針としては，$O_0,\ O_1$の接点を$\mathrm{K}$とし，$\mathrm{K}$での反転を考える．

太郎　 円$O_0$と円$O_1$はいずれも$\mathrm{K}$と中心を結ぶ直線と直交している． 従ってその反転平面$O_0',\ O_1'$もこの直線に直交し，従って平行である． $O_2,\ C_1,\ C_2,\ \cdots$はいずれもこの平行面に挟まれ， かつ面に接しているので半径はすべて等しい． $O_2'$の周りに互いに半径が等しい球が互いに外接するので， それらの中心を通る平面での断面の円を考えることにより， 周りの球の個数は6個以外にありえない．

つぎに二円 について，これらの中心と反転の中心$\mathrm{K}$ でできる平面での切断面を考えると，そこでは円の反転になっている． 6個の円に外接する円をあわせて考えることで， 定理7の証明と同様に

$$\dfrac{1}{r_1}+ \dfrac{1}{r_4}　 =\dfrac{4r'R'\left(\dfra... ...1}{R} \right)}{(R'-r')^2} =\dfrac{1}{r_2}+ \dfrac{1}{r_5}$$

となる．ただし$R'$は6個の円に外接する円の半径， $R$はその原像の円の半径，$r$は$O_2$の半径，$r'$は$O_2'$の半径である． ■

南海　 球の半径の逆数とは曲率に他ならないことにも注意しよう． 和算家の証明は，反転法ではなくいわゆるデカルトの円定理， およびその一般化である三次元球の定理を用いている． 円定理もまた非常に面白いので，これは次の機会に考えよう．