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シュタイナー楕円

定理 3
     複素数平面上の3点を $\mathrm{A}(\alpha)$ ， $\mathrm{B}(\beta)$ ， $\mathrm{C}(\gamma)$ とする．

$$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

とおき，

$$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\gamma)(x-\alpha)\\ &=&3(x-u)(x-v) \end{eqnarray*}$$

とおく． $u,\ v$ に対応する点を $\mathrm{U},\ \mathrm{V}$ とする．

このとき次のことが成り立つ．

1. $\mathrm{U},\ \mathrm{V}$を焦点とし， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ に各辺の中点で 内接する楕円が存在する．
2. この楕円は $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ に内接する楕円のなかで面積最大のも のである．

南海　まず次の補題を確認しておこう．

補題

定理3の証明

1.について

$\mathrm{AB}$ ， $\mathrm{BC}$ ， $\mathrm{CA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{L}$ ， $\mathrm{M}$ ， $\mathrm{N}$ とする．

$\mathrm{L} \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right), \ \mathrm{M} \left(\dfrac{\beta+\gamma}{2} \right), \ \mathrm{N} \left(\dfrac{\gamma+\alpha}{2} \right)$である． 1．を示すためには次の2点を示せばよい．

1. ∠ALU=∠VLB，∠BMU=∠VMC，∠CNU=∠VNA
2. UL+VL=UM+VM=UN+VN

解と係数の関係から

$$3(u+v)=2(\alpha+\beta+\gamma),\ 3uv=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha$$

が成立する．

1. $\angle \mathrm{ALU}=\angle \mathrm{VLB}$は
   
   $$\arg\left(\dfrac{u-\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\alpha-\dfrac{\... ...a-\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{v-\dfrac{\alpha+\beta}{2}} \right)$$
   
   
   と同値である．つまり
   
   $$\dfrac{u-\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\alpha-\dfrac{\alpha+\bet... ...lpha+\beta}{2}}{\beta-\dfrac{\alpha+\beta}{2}} \,\,が正の実数$$
   
   
   を示せばよい．
   $$\begin{eqnarray*} \dfrac{u-\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\alpha-\dfrac{\alpha+\beta}... ...beta-(\alpha+\beta)^2}{3(\beta-\alpha)^2}\\ &=&\dfrac{1}{3}>0 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 
   
   $$(\mathrm{UL+VL})^2=(\mathrm{UM+VM})^2=(\mathrm{UN+VN})^2$$
   
   
   を示す．
   $$\begin{eqnarray*} (\mathrm{UL+VL})^2&=& \left(\left\vert\dfrac{\alpha+\beta}{2}... ...a\bar{\alpha}+\bar{\gamma}\alpha)\}+\dfrac{\vert u-v\vert^2}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   ここで第1の項は $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ の対称式， 第2の項は $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ に無関係．
   したがって $(\mathrm{UM+VM})^2,\ (\mathrm{UN+VN})^2$も同じ値を取るので，これらは相等しい．

したがって確かに題意を満たす楕円が存在する．□