next up previous
次: 二円が交わらないときは? 上: 根軸 前: 根軸

二円の交点を通る円

拓生 最近,二つの円の2交点とさらにある定点を 通るような円を求める問題を学校で習いました.

例えば次の問題です.

例 1.5.1        二つの円 $x^2+y^2=1$ $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ がある.
  1. 二円の交点を通り,かつ点 $(-2,0)$ を通る円を求めよ.
  2. 二円の交点を通る直線を求めよ.

この問題は,次のよう解きました.

解答

  1. 求める円または直線を

    \begin{displaymath}
j(x^2+y^2-1)+k \{(x-2)^2+(y-1)^2-4 \}=0 (j,\ k は同時には0でない)\cdots \maru{1}
\end{displaymath}

    と置く.

    1 が点 $(-2,0)$ を通るので,

    $k=-\dfrac{3}{13}j$ を代入して, $j$ で割り分母を払って整理すると,


    を得る.
  2. 二円の交点を通る曲線 1 が直線になるのは $x^2,\ y^2$ の係数が0になるとき,つまり $k=-j$ のときである.

    よって,

    \begin{displaymath}
2x+y-1=0
\end{displaymath}

    を得る.□

南海  教科書では普通, $(一の円)+k(二の円)=0$ と 置きます.どうして $j(一の円)+k(二の円)=0$ としたのですか.

拓生  教科書の置き方では二の円自身が求めるもので ある場合 $k$ が解なしになってしまうので,このようにしました.実際は の比で決まるの で,場合分けすれば二つの文字は必要ないのですが.

南海  いや,ここにある問題は,直線を $y=mx+n$ と 表すと $x=k$ 型の直線が表せないが $ax+by+c=0$ と置くとすべて表せ, $a:b:c$ の比で直線 が決まる,という問題と本質は同じです.

拓生  なるほど,少しわかります.

南海  これについては別にまた考えましょう.

ところで君の質問は?



Aozora Gakuen