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二円の交点を通る円

拓生　最近，二つの円の2交点とさらにある定点を 通るような円を求める問題を学校で習いました．

例えば次の問題です．

例 1.5.1        二つの円 $x^2+y^2=1$ と $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ がある．

1. 二円の交点を通り，かつ点 $(-2,0)$ を通る円を求めよ．
2. 二円の交点を通る直線を求めよ．

この問題は，次のよう解きました．

解答

1. 求める円または直線を
   
   $$j(x^2+y^2-1)+k \{(x-2)^2+(y-1)^2-4 \}=0 （j,\ k は同時には0でない）\cdots \maru{1}$$
   
   
   と置く．

   1 が点 $(-2,0)$ を通るので, ．

   $k=-\dfrac{3}{13}j$ を代入して， $j$ で割り分母を払って整理すると，
   

   
   
   
   を得る．
2. 二円の交点を通る曲線 1 が直線になるのは $x^2,\ y^2$ の係数が0になるとき，つまり $k=-j$ のときである．

   よって，
   

   $$2x+y-1=0$$
   
   
   を得る．□

南海　 教科書では普通， $(一の円)+k(二の円)=0$ と 置きます．どうして $j(一の円)+k(二の円)=0$ としたのですか．

拓生　 教科書の置き方では二の円自身が求めるもので ある場合 $k$ が解なしになってしまうので，このようにしました．実際は の比で決まるの で，場合分けすれば二つの文字は必要ないのですが．

南海　 いや，ここにある問題は，直線を $y=mx+n$ と 表すと $x=k$ 型の直線が表せないが $ax+by+c=0$ と置くとすべて表せ， $a：b：c$ の比で直線 が決まる，という問題と本質は同じです．

拓生　 なるほど，少しわかります．

南海　 これについては別にまた考えましょう．

ところで君の質問は?