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問題の発見

拓生　 最近次の二つの問題をしました．

例 1.1.1       

2定点 $\mathrm{A}(0,a)$ , $\mathrm{B}(b,c)$ と, $x$ 軸上を動く点 $\mathrm{P}$ とがある． $a,b,c >0$ とする．

1. 
   
   $$\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2$$
   
   
   が最小になるような点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ．
2. 
   
   $$\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$$
   
   
   が最小になるような点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ．

これは解けました．解答です．

解答

1. $\mathrm{P}(t,\ 0)$ とおくと
   $$\begin{eqnarray*} \overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2 &=&a^2+t^2+... ...&=&2 \left(t- \dfrac{b}{2} \right)^2+a^2+\dfrac{b^2}{2}+c^2 \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって, $\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2$ が最小となるのは, $$t= \frac{b}{2}$$ のとき, つまり,
   
   $$\mathrm{P} \left( \frac{b}{2},\ 0 \right)$$
   
   
   のときである．
2. $x$ 軸に関する $\mathrm{B}$ の対称点を $(b,\ -c)$ とおく．

   $\mathrm{A}(0,a)$ と $(b,\ -c)$ を結ぶ直線は,
   

   $$y= \dfrac{-a-c}{b}x+a$$
   
   
   となり, これと $x$ 軸とが交わる点が求める点である．

   $y=0$ とおいて, ．よって

   

   
   
   求める点は, P ．□

さらにもう一問です．

例 1.1.2       

頂点の座標が $\mathrm{A}(0,a)$ , $\mathrm{B}(a,\ 0)$ , $\mathrm{C}(-a,\ 0)$ である三角形 $\mathrm{ABC}$ がある．座標平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ に対して,

$$\overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2+\overline{\mathrm{PC}}^2 \ge \frac{8}{3}a^2$$

が成り立つことを示せ．等号が成立するときの点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ．

問題そのものはできました．解答です．

解答     $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおく．

$$\begin{eqnarray*} \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2+\overline{\... ...\dfrac{a}{3} \right)^2+\dfrac{8}{3}a^2+3x^2 \ge \dfrac{8}{3}a^2 \end{eqnarray*}$$

等号成立は, $x=0,\ y= \dfrac{a}{3}$ , つまり $\mathrm{P}\left(0,\ \dfrac{a}{3} \right)$ のとき．□

2番の問題の最小値を与える点は, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心で, 問題のような特別な点でなくても, 一般的に「3点への距離の二乗の和が最小になる点は重心です」．

南海　 その通り． 一般に3点からの距離の和を最小にする点は, 3点を頂点とする三角形の重心です．

拓生　 はい．これは結局, 二次関数の最小問題です．

南海　 で, 何がわからんのか．

拓生　 問題の1番と2番を見比べると, 三点からの 距離の和 を最小にする 点 $\mathrm{P}$ はどのような点なのか, 作図はできるのか, という問題が浮かびあがります．これは 解けるのでしょうか．

南海　 そういうことか．与えられた問題が解けたことに満足せず, 問題の型を見比 べて新しい問題を見いだす, というのはすばらしいことだ．

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert} \hline \overline{\math... ...ne{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}} \\ \hline \end{array}$$

この表の対比から問題を見つけたということだ．こういう問題の発見の仕方の基本を 「型(パターン)認識」といってな, 何か新しいことを考えつくときに大切なものだ．

だいたい教科書や問題集は解ける問題ばかり載せているが, そのすぐそばにこのようにして 問題を発見すれば, 難しい問題が潜んでいることが多いのだ．

三点からの距離の和が最小となる点を作図せよというわけだ．これは結構てごわい問題なんだ．

拓生　 よく知られた問題ですか．

南海　 この距離の和を最小にする点を「フェルマ点」と言ってな． つまりはあのフェルマ先生が研究したのだよ．