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ある入試問題の別解

拓也最近次の問題を勉強し， その別解がおもしろかったので一般化を考えたのですがいまいちはっきりしません．

例 1.3.1       ［99京大後期理系］

$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ は $\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$, $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ を満たすものとする．このとき， $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ の最大値を求めよ．

この問題の別解として次のような解答を学びました．

解答

$0<x<\pi$ に対し

$$f(x)=\log(\sin x)$$

とおく．

$$f'(x)= \dfrac{\cos x}{\sin x},\ f''(x)=-\dfrac{1}{\sin^2 x}<0$$

よって，曲線 $y=f(x)$ は上に凸である．

したがって，3点 $\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$ ， $\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$ ， $\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$ でつくる $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ は領域 $y\le f(x)$ にある．

$$\mathrm{G} \left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3},\ \dfrac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3} \right)$$

とおくと $\mathrm{G}$ は $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の重心であり， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の内部にある．

したがって $\mathrm{G}$ も領域 $y\le f(x)$ にある．つまり

$$\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3} \le f \left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right) =f \left(\dfrac{\pi}{3} \right)$$

が成り立つ．

$$∴ \quad \dfrac{1}{3}\log(\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) \le \log \left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\le \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 =\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$$

ここで $\mathrm{G}$ が $y=f(x)$ 上に来るのは3点が一致するときのみ． つまり等号成立は $\alpha=\beta=\gamma$ のときのみ．

つまり $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ は $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$ の とき最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ をとる．□

この問題を一般化して，

$n$ 個の $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$ はすべて正で $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+ \alpha_n=\pi$ のとき

$$\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n \le \left(\sin\dfrac{\pi}{n} \right)^n$$

がいえるか，と考えてみました．ところが，

1. $n$ の場合
   
   $$\left(\dfrac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+ \alpha_n}{n},\ \dfrac{f(\alpha_1) +f(\alpha_2)+\cdots+ f(\alpha_n)}{n} \right)$$
   
   
   が $n$ 個の点
   
   $$(\alpha_1,\ f(\alpha_1)),\ (\alpha_2,\ f(\alpha_2)), \ \cdots,\ (\alpha_n,\ f(\alpha_n))$$
   
   
   でできる $n$ 角形の内部にあることがうまく示せない．
2. 示すためには $f''(x)<0$ なので上に凸ということを使うはずだが， 「凸」ということが何となくわかっているようで，余り厳密にはわかっていない．

このようなことをはっきりさせたいのです．