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凸多角形

南海　　なるほど．数学IIIの二次導関数の応用で「上に凸」とか 「下に凸」とか習うわけだが，「凸」の意味からはっきりさせないと一般化は うまくできなかったわけだ．

ここで二つの多角形を見てほしい．

 

結論からいうと図1は凸でない5角形だ．それに対して図2は凸な多角形だ．この違いを どのように定義するのか．

拓也　図を見せてもらったので気づきましたが，凸な方は内部の任意の2点を 結ぶ線分がまた内部にあるが，凸でないと，線分が外に飛び出すことがある．

南海　その通り．ここに「凸」をはっきりさせるカギがある．

以下で「多角形」とは，内部と周からなる $xy$ 平面上の点の集合のこととする．

平面上の $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$が「凸多角形」であるとは，この多角形の 任意の2点を結ぶ線分がつねにこの多角形に含まれることをいう．

もちろん，この定義は凸多角形だけではなく，一般に「凸領域」の定義に拡張されるが， 今はそこまではいいだろう．

この概念をつかうと次の事実が成り立つ．

定理 5
     $n\ge 3$ の自然数 $n$ に対し，$n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$が，凸多角形であるための 必要十分条件は

$$0<r_1,\ r_2,\ \cdots,\ r_n \quad かつ \quad r_1+r_2+\cdots+r_n=1$$

である任意の実数 $n$ 個の組に対して，$\mathrm{O}$ を平面上の基準点とし，

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\sum_{k=1}^n r_k\overrightarrow{\mathrm{OA_k}}$$

で点 $\mathrm{P}$ を定めると， $\mathrm{P}$ がつねにこの多角形の点になる
ことである．

証明

必要条件を数学的帰納法で証明する．

1. $n=3$ のとき．
   
   
   $$\overrightarrow{\mathrm{OP}} =r_1\overrightarrow{\mathrm{O... ...rightarrow{\mathrm{OA_2}} +r_3\overrightarrow{\mathrm{OA_3}}$$
   
   
   $r_3=1-r_1-r_2$ より，
   
   $$\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA_3}}... ...overrightarrow{\mathrm{OA_2}}-\overrightarrow{\mathrm{OA_3}})$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} ∴ \quad \overrightarrow{\mathrm{A_3P}}&=&r_1\overrightarrow{... ... + \dfrac{r_2}{r_1+r_2}\overrightarrow{\mathrm{A_3A_2}}\right\} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $r_3>0$ より $r_1+r_2<1$ であるから $\mathrm{P}$ は $\bigtriangleup \mathrm{A_1A_2A_3}$ の内部にある．
2. $n$個 のとき成立するとして， $n+1$個 のときの成立を示す．

   まず， $n+1$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_{n+1}}$が凸多角形なら $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$も凸多角形である．なぜなら点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ を$n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$の点とすると，$n+1$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_{n+1}}$が凸多角形なので，線分 $\mathrm{PQ}$ は $n+1$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_{n+1}}$に含まれる．ところが$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$ も直線 $\mathrm{A_1A_{n+1}}$ に関して同じ側にあるので，線分 $\mathrm{PQ}$ も 直線 $\mathrm{A_1A_{n+1}}$ に関して同じ側にあり，したがって線分 $\mathrm{PQ}$ は $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$に含まれるからである．

   ここで，実数 $r_1,\ r_2,\ \cdots,\ r_{n+1}$ を
   

   $$k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n+1\ \ に対して\ \ r_k>0,\ で\ \ \sum_{k=1}^{n+1}r_k=1$$
   
   
   を満たすとする．また $$r=\sum_{k=1}^nr_k$$ とおく． $r+r_{n+1}=1$ である
   $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=&\sum_{k=1}^{n+1} r_k\overright... ...athrm{OA_k}}\right) +r_{n+1}\overrightarrow{\mathrm{OA_{n+1}}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $$\sum_{k=1}^n\dfrac{r_k}{r}=1$$ なので帰納法の仮定から
   
   $$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{r_k}{r}\overrightarrow{\mathrm{OA_k}}$$
   
   
   でさだまる点 $\mathrm{Q}$ は $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$の点である．そして
   
   $$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=r\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+r_{n+1} \overrightarrow{\mathrm{OA_{n+1}}},\ r+r_{n+1}=1$$
   
   
   であるから， $\mathrm{P}$ は $n+1$ 角形の頂点 $\mathrm{A}_{n+1}$と内部の点を結ぶ 線分上にあり $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_{n+1}}$の点である．

十分条件であることを示す．

$n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$の2点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ と 実数 $t,\ 0<t<1$ に対して

$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$

が再び $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$の点であることを示す．
$\mathrm{P}$ が $\bigtriangleup \mathrm{A_iA_jA_k}$ の点であり, $\mathrm{Q}$ が $\bigtriangleup \mathrm{A_lA_mA_n}$ の点であるとする．つまり

とおける．このとき $\mathrm{PQ}$の $t:1-t$ の内分点を $\mathrm{R}$ とする．

であるが

$$(1-t)(p+q+r)+t(s+t+u)=1$$

なので，条件から $\mathrm{R}$ は $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$の点である． よって $n$ 角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$は凸多角形である．□

拓也　なるほど．これで気づいたのですが，三角形はつねに「凸」なのですね．

南海　そうなのだ．4角形からはつねに凸というわけではない．

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