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ある入試問題

耕一最近次のような問題をしました．

例 1.5.1       ［96九州大学］

原点 $\mathrm{O}$ から出発して座標平面上を $x$ 軸の正の方向，または $y$ 軸の正の方向に１だけ 進むことを次々行って得られる経路を道という．原点と点 $(i,j)$ を結ぶ， 領域 $\{(x,y) \vert x \ge y \}$ 内の道の総数を $N(i,j)$ とする．次の問に答えよ．

1. $N(2,2)$ ， $N(3,1)$ ， $N(3,2)$ を求めよ．
2. $n \ge 1$ のとき， $N(n,1)$ を求めよ．
3. $n\ge 3$ のとき， $N(n,2)$ を $N(n,1)$ と $N(n-1,2)$ で表し $N(n,2)$ を求めよ．

南海　　    これは解けたのかな．

耕一はい．解は

1. $N(2,2)=2,\ N(3,1)=3,\ N(3,2)=5$
2. $N(n,1)=n$
3. $N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2),\ N(n,2)=(1/2)(n+2)(n-1)$

です．

それで質問は，この N(i,j) は一般に求まるのか，またこの N(i,j) にはどんな意味があるのか， ということです．