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ある入試問題

南海　 次の問題は2006年富山大の入試問題である．

例題 0.0.1        次の問いに答よ．

1. $a,\ b$を$a<b$， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<1$を満たす任意の自然数とするとき， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$の最大値が$\dfrac{5}{6}$であることを証明せよ．
2. $a,\ b,\ c$を$a<b<c$， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}<1$を満たす任意の自然数とするとき， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$の最大値が $\dfrac{41}{42}$であることを証明せよ．

南海　 これを解いてみよう．

太郎　 必要条件で絞りながら，やってみます．

解答

1. $b>0$より
   
   $$\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<1$$
   
   
   よって$a>1$，$a$は自然数なので$2\le a$である． $a<b$より$3\le b$である． この結果
   
   $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$$
   
   
   等号は$a=2,\ b=3$のときである． $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$の最大値が$\dfrac{5}{6}$であることが示された．
2. (1)と同様に $2\le a,\ 3\le b$である． $a=2,\ b=3$とする．$c\le 6$とすると，
   
   $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$$
   
   
   よって $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}<1$となるために $7 \le c$が必要である．このとき，
   
   $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{41}{42}$$
   
   
   等号は $a=2,\ b=3,\ c=7$のとき成立．

   $3\le a$とすると， $4\le b,\ 5\le c$より
   

   $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{47}{60}<\dfrac{41}{42}$$
   
   
   $a=2$で$4\le b$とすると$5\le c$なので，
   
   $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{19}{20}<\dfrac{41}{42}$$
   
   
   $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$の最大値は $a=2,\ b=3,\ c=7$のとき $\dfrac{41}{42}$であることが示された．