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塗り分け［99京大文系］

問題     

$n$，$k$ は自然数で，$n\ge 3$，$k\ge 2$ を満たすものとする．いま， $n$ 角柱の $n+2$ 個の面に 1 から $n+2$ までの番号が書いてあるものとする． この $n+2$ 個の面に 1 面 ずつ，異なる $k$ 色の中から 1 色ずつ選んでは塗 っていく．このとき，どの隣り合う面の組も同一色では塗られない塗り方の数を $P_k$ で表す．

1. $P_2$ と $P_3$ を求めよ．
2. $n=7$ のとき，$P_4$ を求めよ．

方針

1.

(1)で問題の内容をつかみ(2)を数える． 適切な場合分けか，樹形図を書いて考えればよい．

2.

(2)で$n=7$のときの塗り方の総数を求めるのであるが， 側面の塗り方の総数を数列において， その漸化式を立てるという方針が考えられる．

解1
(1)     $k=2$のとき． ひとつの頂点に少なくとも3つの面がよるので，2色で塗ることは出来ない．

$$∴\quad P_2=0$$

$k=3$のとき．底に3通りの選択で1色使う．側面は2色でぬらなければならない． 交互に塗るしかない．$n$が奇数なら$n$の面と1の面が同色になる． よって側面を2色で塗ることは出来ない． $n$が偶数なら，底と側面は1を塗る色を決めれば，すべてきまる．

$$∴\quad P_3= \left\{ \begin{array}{ll} 0&(n\ 奇数)\\ 6&(n\ 偶数) \end{array}\right.$$

(2)     側面を3色で塗る型を考える．異なる色を$a,\ b,\ c$とおく．

最初に塗る色$a$は７番目には塗れない．

５番目に$a$以外の色を塗れば６，７番の塗り方は3通り， ５番目に$a$を塗れば６，７番の塗り方は2通り． よって， 4番目に$a$以外の色を塗ればその後の塗り方が５通りあり， 4番目に$a$を塗ればその後の塗り方が６通りとなる．

あわせて21通りの型がある．

底の色を含めた4色の配置は$4!=24$通りある． よって$n=7$のとき

$$P_4=21\times 24=504$$

□

   

　　 訂正：「P₄=4_a3(n)」→「P₄=4_a3(7)」

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