問題

2.1 ［02名大理系前期］考え方2.1 解答2.1

関係式

$\begin{displaymath} x^a=y^b=z^c=xyz \end{displaymath}$

を満たす1とは異なる三つの正の実数の組 $(x,\ y,\ z)$ が，少なくとも1組存在するような，正の整数の組 $(a,\ b,\ c)$ をすべて求めよ．ただし， $a\le b\le c$ とする．

2.2 ［04早稲田］考え方2.2 解答2.2

2004個の数

$\begin{displaymath} 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ \cdots,\ 2^{2004} \end{displaymath}$

のうち，十進法で表したとき，その最高位の数字が1であるものはいくつあるか．ただし， $\log_{10}2=0.3010$ とする．

2.3 ［04名大］考え方2.3 解答2.3

を実数とし，実数の組 $(x,\ y,\ z)$ に関する方程式

$\begin{displaymath} (\mathrm{i})\quad \left\{ \begin{array}{l} x+y-2z=3a\\ ... ...rray}\right.\quad および\quad (\mathrm{ii})\quad x^2+y^2+z^2=1 \end{displaymath}$

を考える．

方程式(i)が解をもつためのに関する条件を求めよ．またそのときの方程式(i)の解 $(x,\ y,\ z)$ を求めよ．
方程式(i)と(ii)がただ一つの共通解をもつとき，その共通解 $(x,\ y,\ z)$ は方程式をみたすことを示せ．

2.4 ［05東大文科］考え方2.4 解答2.4

0以上の実数 $s,\ t$ がをみたしながら動くとき，方程式

$\begin{displaymath} x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0 \end{displaymath}$

の解のとる値の範囲を求めよ．

2.5 ［05阪大］考え方2.5 解答2.5

空間内の4点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D}$ が

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \mathrm{AB}=1,\ \mathrm{AC}=2,\ \mathrm{A... ...CAD}=60^{\circ},\ \angle \mathrm{DAB}=90^{\circ} \end{array}\end{displaymath}$

をみたしている．この4点から等距離にある点を $\mathrm{E}$ とする．線分 $\mathrm{AE}$ の長さを求めよ．

2.6 ［07早稲田］考え方2.6 解答2.6

半径の球面上に異なる４点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D}$ がある．

$\begin{displaymath} \mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\sqrt{2},\ \mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\sqrt{5} \end{displaymath}$

であるとき，

の値を求めよ．

2.7 ［97名大］考え方2.7 解答2.7

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ 上に時速 $u,\ v,\ w$ で等速運動する3点があって，それぞれ $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に沿って $\mathrm{B}$ へ， $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に沿って $\mathrm{C}$ へ， $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{CA}$ に沿って $\mathrm{A}$ へ同時に出発するとする．時間後のそれらの位置をそれぞれ $\mathrm{P}(t)$ ， $\mathrm{Q}(t)$ ， $\mathrm{R}(t)$ とする．

3点が同時に次の頂点に到達するための必要十分条件は $\bigtriangleup \mathrm{P}(t)\mathrm{Q}(t)\mathrm{R}(t)$ の重心の位置がによらず一定なことである．これを示せ．

2.8 ［83東大］考え方2.8 解答2.8
平面上に点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径1の円

がある．

また，この平面上の $\mathrm{O}$ と異なる点 $\mathrm{A}$ を通って，直線 $\mathrm{OA}$ と垂直な空間直線があり，平面とのなす角が $45^{\circ}$ である．このとき，直線上を動く点 $\mathrm{P}$ と，円上を動く点 $\mathrm{Q}$ の間の距離の最小値を 2点間の距離 $\mathrm{OA}=a$ で表せ．

2.9 ［99お茶の水女子大］考え方2.9 解答2.9

あるクラスの生徒は A 町に人，B 町に人住んでいる． A 町とB 町は km の道路で結ばれている．この道路上， A 町から km の距離にある地点に全員集合したい．以下のそれぞれの場合につき，全員の交通費の合計が最小となるのはどのようなときかを調べ，そのときのの値と交通費の総額を示せ．ただし，いずれの場合も，比例定数は最初の1km に対する交通費がちょうど100円となるように設定してあるものとする．

(1): 交通費が距離に比例するとき．
(2): 交通費が距離の3乗に比例するとき．

2.10 ［06名大］考え方2.10 解答2.10

正五角形ABCDEの頂点AとC，CとE，EとB，BとD，DとAをそれぞれ結んだ５本の対角線を考えると，それらは右図のように５つの点P，Q，R，S，Tで交わる．この５つの点P，Q，R，S，T上にそれぞれ１枚ずつ，表裏が定まったコインが置かれ固定されているとする．

いま，表裏が定まっていて互いに区別のつかない５枚のコインを新たに用意し，５つの点A，B，C，D，E上に１枚ずつ置く．すると各対角線上にはそれぞれ４枚のコインが並ぶことになる．

問どの対角線上にも表のコインが偶数枚置かれているような，A，B，C，D，E上へのコインの置き方の場合の数は何通りあるか．考察の過程をていねいに説明して解答せよ．