東大理系第１問解説　問題　2000年入試に戻る

史織　今回は私が解きました．ずいぶんあっさりとした解答です．また「ダサイ」と言われるかもしれません．

南海　いや．大切なことは，必ず解ける方法でやることだ．この場合，内接する条件を書きあげ，その条件をみたしつつ面積を最大にする場合を求めればよいのだから，この方法でいいのだ．

史織　この問題はこれだけのことなのでしょうか．

南海　楕円とくれば当然その焦点を考えねばならない．焦点の座標はどうなるかな．

史織　 ですから計算すると，

です．

南海　ここで平面を複素数平面とする．3つの頂点は

です．これらを解とする3次方程式は何かな．

史織　それは

です．

南海　ここで方程式の部分を微分すると

史織　あっ．この2次方程式の2解が焦点になっている！

南海　そうなのだ．実は次のことが成り立つ．
 

複素平面上の3点　　をとり

とおく． の解を， とする．

このとき， を焦点とし，3点　 　で定まる三角形の各辺の中点でこの三角形に内接する楕円 が， つねに存在する．

　
南海　これを関連問題にあげておこう．

史織　するとこの楕円は内接する楕円の中で面積最大のものであるのですか．

南海　おそらくそうだが，その部分はまだ証明できていない．それは予想問題だ．それをはっきりさせるためには，次の問いに答えなければならない．
 


 皆さん，考えてみよう．

これについては，『三角形に内接する楕円』参照．