千葉大7解説　問題　2000年入試に戻る

１．フェルマーの最終定理が解決して以降，この型の問題がよく出題される．その典型が次の1998年信州大学の問題である．

　この問題は背理法で証明しよう．すべてが3の倍数でないと仮定し，x=3l±1 ，y=3m± 1，z=3n± 1 とおいて代入する．その両辺の9で割った余りを比べれば結論が出る．それから，このことを活用して，  に整数解が存在しないことも証明してみよう．

　さて， (x, y, z)=(3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (7, 24, 25) などのように  を満たす整数解 x, y, z (xyz ≠ 0) はピタゴラス数といわれる．ピタゴラス数は無数にある．ところが，n ≧3 となると に解はない．フェルマ（Pierre de Fermat,1601〜1665）は，n ≧3 のとき解がないとのメモを本の余白に残しさらに「私はこの証明を発見したが，ここは狭くて書けない」とだけ書いたのです．以来300年，多くの人がこの証明を試み，それがまた数学を発展させたが，しかし肝心のフェルマーの定理自体はなかなか証明されなかった．私の学生時代は今世紀中にはとてもできないだろうと，みんな考えていた．ところが，数学のいろんな分野の発展を総合し，ついに1995年になって証明された．

２．無限降下法

　千葉大の問題は背理法で論述した．

 すべてが0ではない解　があれば，互いに素な解がある．これを改めて　とする．ところがこのときすべてが2の倍数になる．互いに素という仮定と矛盾した．よって，すべてが0ではない解　は存在しない．

という論法であった．これは言い換えれば，

 すべてが0ではない解　があれば，そのすべてが2の倍数になる．3数を2で割ったものを改めて　とする．これは同じ条件を満たすので，再びすべてが2の倍数である．これは無限にくりかえせる．つまり3数とも，素因数2を無数にもつ．これはあり得ない．

ということである．この論法を無限降下法という．この論法をはじめて方法として明確にしたのもフェルマである．近代の整数の研究は，すべてフェルマに始まる．無限降下法の一番簡単な例が教科書にも載っている，2の平方根が無理数であることの証明である．