(1)
$ 0.3010< \log_{10}2< 0.3011 $ より，
$ 3.010< 10\log_{10}2< 3.011 $ であるから，
\[
0.010< \{10\log_{10}2\}< 0.011
\]
つまり， $ n=10 $ は条件を満たす．
(2)
$ 2^n=a\cdot 10^{k}\ (1\leqq a<10) $ とおく．
$ \log_{10}2^n=k+\log_{10}a $ で $ 0\leqq \log_{10}a< 1 $ であるから，
$ \{ \log_{10}2^n\}=\log_{10}a $ である．
よって，10進法による表示で $ 2^n $ の最高位の数字が7となることは，
\[
\log_{10}7 \leqq \{ \log_{10}2^n\}<\log_{10}8
\]
と同値である．
$ \log_{10}7< 0.8451 $ で，
$ 0.9030< \log_{10}2^3 $ であるから，
\[
0.8451 \leqq \{ \log_{10}2^n\}<0.9030
\]
は十分条件である．
$ 1.8060< 6\log_{10}2< 1.8066 $
であり，(1)の過程から
$ 12.040< 40\log_{10}2< 12.044 $
であるから，
\[
13.8460< 46\log_{10}2< 13.8506
\]
となり，
\[
0.8460< \{46\log_{10}2\}< 0.8506
\]
なので， $ 2^{46} $ の最高位の数字は7である．
$ n=46 $ が条件を満たす．