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九大前期理系

(1)

3点 $z_1,\ z_2,\ z_3$ は半径1の円 C 上の点なので，

$$\vert z_i\vert=1 \quad つまり \quad z_i=\dfrac{1}{\overline{z_i}}\ (i=1,\ 2,\ 3)$$

が成り立つ． 直線 z₁w₁ と直線 z₃z₂ が直交していることを示すためには，

$$\dfrac{w_1-z_1}{z_2-z_3}$$

が純虚数であることを示せばよい．ここで

$$\begin{eqnarray*}\dfrac{w_1-z_1}{z_2-z_3}&=&\dfrac{z_2+z_3}{z_2-z_3} =\dfrac{(z... ...}-\overline{z_3}z_2}{\vert z_2-z_3\vert^2} \quad \cdots\maru{1} \end{eqnarray*}$$

$z_3\overline{z_2}=\dfrac{z_3}{z_2}$が実数なら原点と $z_2,\ z_3$ が1直線上に あることになる．ゆえに実数ではなく，$\maru{1}$は共役2虚数の差なので純虚数である． ゆえに直線 z₁w₁ と直線 z₃z₂ は直交している． 同様に直線 z₂w₁ と直線 z₁z₃ も直交しているので 点 w₁ は3点 $z_1,\ z_2,\ z_3$ を頂点とする三角形の垂心になる

(2)

$\vert w_2\vert=\vert\overline{z_1}z_2z_3\vert=1$より w₂ は C 上の点である．

$$\begin{eqnarray*}&&\dfrac{w_2-z_1}{z_2-z_3}=\dfrac{-\overline{z_1}z_2z_3-z_1}{z_... ...ine{z_3}} =-\overline{ \left(\dfrac{w_2-z_1}{z_2-z_3} \right)} \end{eqnarray*}$$

したがって確かに w₂ は，2点 $z_2,\ z_3$ を通る直線上に点 z₁ から下ろした 垂線またはその延長線が円 C と交わる点である．

(3)

(1)，(2)から $z_1,\ w_1,\ w_2$ は同一直線上にあり，その直線は $z_2,\ z_3$ を通る直線と直交している． したがって $z_2,\ z_3$ を通る直線に関して$w_1,\ w_2$ が対称の位置にあることを示せばよい． 一般に原点と $\alpha$ を結ぶ直線に関して z と対称な点は

$$\overline{ \left(\dfrac{z}{\alpha} \right)}\alpha$$

である．そこで

$$\begin{eqnarray*}\overline{ \left(\dfrac{w_1-z_2}{z_3-z_2}\right)}(z_3-z_2) &=&... ...(z_3-z_2)\\ &=&-z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_3})=w_2-z_2 \end{eqnarray*}$$

したがって，$z_2,\ z_3$ を通る直線に関してw₁とw₂ が対称の位置にある． つまり 直線 z₂z₃上に点 z₁ から下ろした垂線との交点は， 点 w₁ と w₂ を結ぶ線分の中点であることが示された．