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お茶大前期

数列 が次の漸化式を満たしている． $x_{i+1}=\dfrac{x_i^2+1}{2}\ (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(1)

すべての自然数 i に対して， $x_{i+1}\ge x_i$ が成り立つことを示せ．

(2)

$\vert x_1\vert\le 1$ のとき，すべての自然数 i に対して $x_i\le 1$ であることを示せ．

(3)

自然数 n に対して，等式 $$x_{n+1}-x_1=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-1)^2$$ が成り立つことを示せ．

(4)

$\vert x_1\vert\le 1$ のとき， $x_{n+1}-x_1\ge \dfrac{n}{2}(x_n-1)^2$が成り立つことを示せ．

(5)

初項 x₁ の値に応じて，数列 の収束，発散について調べ， 収束するときは極限値を求めよ．