次: 東北大前期理系 上: 問題 前: 千葉大理系後期

東工大前期

n を自然数とする．

(1)

次の極限を求めよ．

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\log n} \left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n} \right)$$

(2)

関数 $y=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$の極値を与える x の最小値を x_n とする．このとき

$$\dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{1-x_n}+\dfrac{1}{2-x_n}+\cdots+\dfrac{1}{n-x_n}$$

および $0<x_n\le \dfrac{1}{2}$を示せ．

(3)

(2)の x_n に対して， 極値 $$\lim_{n \to \infty} x_n \log n$$ を求めよ．