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金沢前期理系

x>0 に対して，2次の行列 $A(x),\ B$ を

$$A(x)=\matrix{\sqrt{1+3x^2}}{3x}{x}{\sqrt{1+3x^2}},\ B=A(1)=\matrix{2}{3}{1}{2}$$

と定める．

(1)

x>1 のとき， 0<y<x であって A(x)=A(y)B を満たす 実数 y が存在することを示せ．

(2)

行列 A(x) の各成分が自然数であるとする．このとき， A(x)=Bⁿ となる自然数 n が存在することを示せ．