次: 5. 上: 2. 解答 前: 3.

4.

$$y'=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$$

である． C 上の点 $\mathrm{Q}\left(t,\ \dfrac{t^2}{t^2+1} \right)$ をとる． 直線 PQ の傾きは

$$\dfrac{\dfrac{t^2}{t^2+1}-a}{t}$$

であるから， Qの満たすべき条件は

$$\dfrac{\dfrac{t^2}{t^2+1}-a}{t}\cdot\dfrac{2t}{(t^2+1)^2}=-1$$

である．これを満たす0でない t が存在すればよい． $t\ne 0$ のもとで整理すると

$$a=\dfrac{t^2}{t^2+1}+\dfrac{(t^2+1)^2}{2}$$

となる．ここで $f(t)=\dfrac{t^2}{t^2+1}+\dfrac{(t^2+1)^2}{2}$ とおく．

$$f'(t)=\dfrac{2t}{(t^2+1)^2}+2t(t^2+1)=\dfrac{2t\{1+(t^2+1)^3\}}{(t^2+1)^2}$$

ゆえに f(t) は t=0 で極小かつ最小で $f(0)=\dfrac{1}{2}$ また $$\lim_{t \to \infty}f(t)=+\infty$$なので y=f(t) と y=a が $t\ne 0$ である共有点を持つための条件は

$$a>\dfrac{1}{2}$$