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3.

$\alpha$を $\vert\alpha\vert=1$であるような複素数とし，複素数の列$\{z_n\}$を

$$z_1=1,\ z_2=\dfrac{\alpha^4}{2},\ \dfrac{z_n}{z_{n-1}} =\dfr... ...dfrac{\bar{z}_{n-2}}{\bar{z}_{n-1}} \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$$

で定める ただし， $\bar{z}_n$ は複素数 z_n の共役な複素数とする．

(1) 各 n に対し z_n を求めよ．

(2) z_n の実部と虚部をそれぞれ $x_n,\ y_n$ とし， $\alpha=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ とおくとき， 無限級数の和

$$\sum_{k=1}^{\infty}x_k\ , \quad \sum_{k=1}^{\infty}y_k$$

をそれぞれ求めよ．