(1) 不等式 $ \log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]\leqq 1 $ を満たす $ \theta $ の範囲を求めよ．
(2) $ \left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta \right]\geqq 1 $ を満たす $ \theta $ の範囲を求めよ．
(3) 不等式 $ \log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]
\leqq \left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta \right] $ を満たす $ \theta $ の範囲を求めよ．
(1) 不等式 $ \log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]\leqq 1 $ は $ 0< \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]\leqq 2 $ と同値であり，さらにこれは， $ 1\leqq \dfrac{5}{2}+\cos\theta< 3 $ と同値である．これより $ -1\leqq \cos\theta< \dfrac{1}{2} $ を得て， 不等式を満たす $ \theta $ の範囲は $ \dfrac{\pi}{3}< \theta< \pi $ である．
(2) 不等式 $ \left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta \right]\geqq 1 $ より， $ 1\leqq \dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta $ ，つまり $ -\dfrac{1}{2}\leqq \log_2\sin\theta $ となる． さらにこれは， $ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq \sin\theta $ なので， 不等式を満たす $ \theta $ の範囲は $ \dfrac{\pi}{4}\leqq \theta\leqq \dfrac{3\pi}{4} $ である．
(3)
$ \dfrac{3}{2}\leqq \dfrac{5}{2}+\cos\theta\leqq \dfrac{7}{2} $ より，
$ \left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]=1,\ 2,\ 3 $ であり，
$ \log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right]=0,\ 1,\ \log_23 $ である．
一方， $ \dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta< 2 $ なので，
$ \left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta \right]\leqq 1 $ である．
したがって，不等式を満たすのは，
\[
\left(\log_2\left[\dfrac{5}{2}+\cos\theta \right],\ \left[\dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta \right]\right)
=(0,\ 0),\ (0,\ 1),\ (1,\ 1)
\]
のいずれかの場合にかぎる．
このうち， $ (0,\ 1),\ (1,\ 1) $ となるのは，(1)かつ(2)の場合であり，
$ \dfrac{\pi}{3}< \theta\leqq \dfrac{3\pi}{4}\quad \cdots(*)$ ．
$ (0,\ 0) $ となるのは，
\[
1\leqq \dfrac{5}{2}+\cos\theta< 2,\ 0\leqq \dfrac{3}{2}+\log_2\sin\theta< 1
\]
である．これより，
\[
-1\leqq \cos\theta< -\dfrac{1}{2},\
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\leqq \sin\theta< \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\]
これより，
\[
\dfrac{2\pi}{3}< \theta< \pi,\ \dfrac{3\pi}{4}< \theta\leqq \pi -\alpha
\]
つまり， $ \dfrac{3\pi}{4}< \theta\leqq \pi -\alpha $ ． $ (*) $ とあわせて
不等式を満たす $ \theta $ の範囲は $ \dfrac{\pi}{3}< \theta\leqq \pi-\alpha $ である．