群馬大医
解答
(1) $ y=k $ とする． $ 1\leqq k\leqq n $ である．
このとき， $ x,\ z $ は $ 1\leqq x\leqq 2k $ ， $ 2k \leqq z\leqq 2n $
の範囲にあればよいので，
それぞれ $ 2k $ 個， $ 2n-2k+1 $ 個ある．
求める個数は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^n2k(2n-2k+1)&=&
2(2n+1)\sum_{k=1}^nk-4\sum_{k=1}^nk^2\\
&=&(2n+1)n(n+1)-\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}
=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3}
\end{eqnarray*}
別解
$ 1\leqq x \leqq a \leqq z\leqq 2n $ となる $ (x,\ a,\ z) $ に対し，
\[
x'=2n+1-z,\ a'=2n+1-a,\ z'=2n+1-x
\]
で定めた $ (x',\ a',\ z') $ を対応させる．
\[
x=2n+1-z',\ a=2n+1-a',\ z=2n+1-x'
\]
なので，これは一対一対応である．そして， $ a $ が偶数か奇数であるかに対応して，
$ a' $ は奇数か偶数となる．つまり， $ a $ が偶数の $ (x,\ a,\ z) $ と， $ a $ が奇数の $ (x,\ a,\ z) $ は同数である．
求める個数は $ 1\leqq x \leqq a \leqq z\leqq 2n $ となる $ (x,\ a,\ z) $ の半数であり，
\[
\dfrac{1}{2}\cdot {}_{2n} \mathrm{H}_3=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3}
\]
である．
(2)
$ x,\ y,\ z $ をそれぞれ6で割った余りを
$ x_0,\ y_0,\ z_0 $ とすると，
\[
(x,\ y,\ z)=(x_0+6i,\ y_0+6j,\ z_0+6k)
\]
と表される．これから
\[
xyz=(x_0+6i)(y_0+6j)(z_0+6k)=x_0y_0z_0+( $ 6 $ の倍数)
\]
となるので，積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数であることと
$ x_0y_0z_0 $ が $ 6 $ の倍数となることが同値である．
よってまず $ 1\leqq x,\ y,\ z \leqq 6 $ の範囲で，
積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数であるものの個数を求める．
(i) $ x=1,\ 5 $ のとき． $ yz $ が $ 6 $ の倍数となればよい．
$ yz $ が $ 2 $ の倍数でないのは $ 3^2=9 $ 個．
$ yz $ が $ 3 $ の倍数でないのは $ 4^2=16 $ 個．
$ yz $ が $ 2 $ の倍数でなく $ 3 $ の倍数でもないのは $ 2^2=4 $ 個．
$ yz $ が $ 6 $ の倍数となるのは
\[
6^2-(9+16-4)=25
\]
この場合は $ 25\times 2=50 $ 個．
(ii) $ x=2,\ 4 $ のとき． $ yz $ が3の倍数となればよい．
$ yz $ が $ 3 $ の倍数でないのは $ 4^2=16 $ 個．
$ yz $ が $ 3 $ の倍数となるのは
\[
6^2-16=20
\]
この場合は $ 20\times 2=40 $ 個．
(iii) $ x=3 $ のとき． $ yz $ が偶数．
\[
6^2-3^2=27
\]
(iv) $ x=6 $ のときは $36$ 個．
$ 1\leqq x,\ y,\ z \leqq 6 $ の範囲で，
積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数であるのは
\[
30+40+27+36=133\ (個)
\]
この個数を求める別方法
積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数でないのは， $ x,\ y,\ z $ の中に偶数がないか $ 3 $ の倍数がない場合で，
$ 1,5 $ のみの場合が双方に含まれる．その個数は
\[
3^3+4^3-2^3=83
\]
よって，積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数となるのは，
\[
6^3-83=133\ (個)
\]
この範囲の一組の $ (x_0,\ y_0,\ z_0) $ に対して，
\[
(x,\ y,\ z)=(x_0+6i,\ y_0+6j,\ z_0+6k)\quad ,\
0\leqq i,\ j,\ k\leqq n-1
\]
はすべて題意を満たし，最初に確認したように
題意を満たすものはこの形に書ける．
よって，積 $ xyz $ が $ 6 $ の倍数であるのは $ 133n^3 $ 個である．