東大理科2問解答
※ (2)の別方法
$ n $ が奇数のときの確率は，次のように求めてもよい．
$ 2m-1 $ 回の後 $ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ である確率を $ r_m $ とおく．
$ 2m-3 $ 回の後 $ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ であるとき， $ 2m-1 $ 回の後は，
$ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ ，または $ (6,\ 0) $ か $ (0,\ 6) $ である．
$ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ から， $ (6,\ 0) $ か $ (0,\ 6) $ に推移する確率は，
$ \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18} $ である．
したがって，余事象を考えることにより，
$ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ から， $ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ に推移する確率は，
\[
1-\dfrac{1}{18}=\dfrac{17}{18}
\]
である．したがって
\[
r_m=\dfrac{17}{18}r_{m-1}
\]
ここで， $ r_1 $ は最初の試行で $ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ となる確率なので，1である．
よって，
\[
r_m=\left(\dfrac{17}{18}\right)^{m-1}r_1=\left(\dfrac{17}{18}\right)^{m-1}
\]
$ 2m-1 $ 回の後 $ (4,\ 2) $ か $ (2,\ 4) $ にあり，
$ 2m+1 $ 回の後 $ (6,\ 0) $ か $ (0,\ 6) $ に移る確率が $ \dfrac{1}{18} $ なので，
$ n=2m+1 $ とするとき，求める確率は
\[
\left(\dfrac{17}{18}\right)^{m-1}\cdot\dfrac{1}{18}
=\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{17}{18}\right)^{\frac{n-3}{2}}
\]
である．