阪大理系2番解答
\begin{eqnarray*}
x(\theta)&=&4\sin2\theta\sin\theta+8\cos2\theta\cos\theta\\
&=&2(\cos\theta-\cos3\theta)+4(\cos\theta+\cos3\theta)
=2(3\cos\theta+\cos3\theta)=8\cos^3\theta\\
8y(\theta)&=&4\sin2\theta\cos\theta-8\cos2\theta\sin\theta\\
&=&2(\sin3\theta+\sin\theta)-4(\sin3\theta-\sin\theta)
=2(-\sin3\theta+3\sin\theta)=8\sin^3\theta
\end{eqnarray*}
これから $ D $ の境界の曲線は $ x=8\cos^3\theta,\ y=\sin^3\theta $ という媒介変数表示をもつ．
微分可能性を仮定したが，逆に得られた媒介変数表示をもつ曲線は， $ ①,\ ③ $ を満たし微分可能なので， $ x'\sin\theta+8y'\cos\theta=0 $ が成り立ち，曲線の接線方向とPQの法線方向が直交してる．PQの通過領域の境界曲線は一つに定まるので，これ以外にない．
$ x(\theta),\,y(\theta) $ は $ \theta $ の変域で単調である．
よって $ D $ を $ x $ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $ V $ は，
\begin{eqnarray*}
V&=&\int_0^8\pi y^2\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^6\theta(24\cos^2\theta)(-\sin\theta)d\theta\\
&=&24\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6\theta\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta\\
&=&24\pi\int_0^1(1-t^2)^3t^2\,dt=24\pi\int_0^1(t^2-3t^4+3t^6-t^8)\,dt\\
&=&24\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{9} \right)
=\dfrac{128}{105}\pi
\end{eqnarray*}
である．
問題