大阪医科大2番解答
(1) 接線の方程式を $ x $ で微分して $ \dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy'}{b^2}=0 $ ． よって， $ v\ne 0 $ のとき点Pでの接線の傾きは $ y'=-\dfrac{b^2u}{a^2v} $ である． よって接線の方程式は \[ y-v=-\dfrac{b^2u}{a^2v}(x-u) \] これから \[ \dfrac{ux}{a^2}+\dfrac{vy}{b^2}=\dfrac{u^2}{a^2}+\dfrac{v^2}{b^2} \] となるが， $ \mathrm{P}(u,\ v) $ は $ C $ 上の点なので， $ \dfrac{u^2}{a^2}+\dfrac{v^2}{b^2}=1 $ である． よって接線の方程式は \[ \dfrac{ux}{a^2}+\dfrac{vy}{b^2}=1 \] である． $ v=0 $ のときは $ u=\pm a $ で，Pでの接線は $ x=\pm a（複号同順） $ となる． この方程式は，この場合も表しているので， これが $ C $ 上の任意の点 $ \mathrm{P}(u,\ v) $ での接線の方程式である．
(2) 2つの焦点を $ \mathrm{F}(\sqrt{a^2-b^2},\ 0) $ ， $ \mathrm{F}'(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0) $ とし， それぞれから(1)の接線に下ろした2本の垂線と接線との交点を $ \mathrm{H},\ \mathrm{H}' $ とする． 点と直線の距離の公式から \[ \mathrm{FH}\cdot\mathrm{F'H'}= \dfrac{\left|\dfrac{u\sqrt{a^2-b^2}}{a^2}-1\right|}{\sqrt{\dfrac{u^2}{a^4}+\dfrac{v^2}{b^4}}}\cdot \dfrac{\left|\dfrac{-u\sqrt{a^2-b^2}}{a^2}-1\right|}{\sqrt{\dfrac{u^2}{a^4}+\dfrac{v^2}{b^4}}} =\dfrac{\left|1-\dfrac{u^2(a^2-b^2)}{a^4} \right|}{\dfrac{u^2}{a^4}+\dfrac{v^2}{b^4}} \] ここで $ \dfrac{v^2}{b^2}=1-\dfrac{u^2}{a^2}=\dfrac{a^2-u^2}{a^2} $ なので \[ \mathrm{FH}\cdot\mathrm{F'H'}= \dfrac{\left|1-\dfrac{u^2(a^2-b^2)}{a^4} \right|}{\dfrac{u^2}{a^4}+\dfrac{a^2-u^2}{a^2b^2}} =b^2\dfrac{a^4-a^2u^2+b^2u^2}{b^2u^2+a^4-a^2u^2}=b^2 \] である．
