2016年入試問題研究に戻る京大理系5番解答
$ n $ 秒後に動点Xの $ x $ 座標が 0である確率， 1である確率， 2である確率をそれぞれ $ p_n $ ， $ q_n $ ， $ r_n $ とする．規則によって漸化式 \[ \left\{ \begin{array}{l} p_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{3}q_n\\ q_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{3}q_n+\dfrac{1}{2}r_n\\ r_{n+1}=\dfrac{1}{3}q_n+\dfrac{1}{2}r_n \end{array} \right. \] が成り立ち，さらに初期条件から $ p_0=1 $ ， $ q_0=r_0=0 $ である．
$ p_n+q_n+r_n=1 $ なので， \[ q_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{3}q_n+\dfrac{1}{2}r_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}q_n \] これより， \[ q_{n+1}-\dfrac{3}{7}=-\dfrac{1}{6}\left(q_n-\dfrac{3}{7}\right) \] よって \[ q_n-\dfrac{3}{7}=\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\left(q_0-\dfrac{3}{7}\right) =-\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \] つまり， \[ q_n=-\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{3}{7} \] この結果， \[ p_n+r_n=1-q_n=\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7} \] 一方， \[ p_{n+1}-r_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n-r_n) \] なので \[ p_n-r_n=\left(\dfrac{1}{2} \right)^n(p_0-r_0)=\left(\dfrac{1}{2} \right)^n \] これより，求める確率 $ p_n $ は \[ p_n=\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}+\left(\dfrac{1}{2} \right)^n\right\} =\dfrac{3}{14}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}+\dfrac{2}{7} \] である．