2016年入試問題研究に戻る京大文系3番解答
$ n $ が4以上の自然数なので， $ n $ 進法で表された数2，12，1331を十進法で記すと \[ 2,\ n+2,\ n^3+3n^2+3n+1 \] である．つまり， \[ 2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3 \] が成り立っている．左辺は2のべきなので， $ n+1 $ も2のべきである． $ n+1=2^p $ とおく． $ n+1\geqq 5 $ より $ p\geqq 3 $ で，これから \[ 2^{2^p+1}=2^{3p} \] つまり， \[ 2^p+1=3p \quad \cdots① \] となる．ここで， $ p\geqq 3 $ なので， \begin{eqnarray*} 2^p+1&=&(1+1)^p+1 =1+1+p+{}_p\mathrm{C}_2+\cdots\\ &\geqq &1+1+p+\dfrac{p(p-1)}{2} \end{eqnarray*} より， \[ 3p\geqq 1+1+p+\dfrac{p(p-1)}{2} \] つまり \[ \dfrac{(p-1)(p-4)}{2}\leqq 0 \] よって， $ p=3,\ 4 $ が必要であり，このうち ① を満たすのは $ p=3 $ である． このとき $ n $ は \[ n=2^3-1=7 \] である．