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京大特色入試総人理系1番解答

複素数 $ z $ が単位円 $ |z|=1 $ を一周するので， $ z=\cos\theta+i\sin\theta\ \left(0\leqq \theta\leqq 2\pi \right) $ とおく． また， $ f(z)=x(\theta)+iy(\theta) $ とする． このとき， \begin{eqnarray*} x(\theta)+iy(\theta)&=&\cos\theta+i\sin\theta-\dfrac{1}{n+1}\left(\cos\theta+i\sin\theta \right)^{n+1}\\ &=&\cos\theta-\dfrac{1}{n+1}\cos(n+1)\theta+ i\left\{\sin\theta-\dfrac{1}{n+1}\sin(n+1)\theta \right\} \end{eqnarray*} である．複素数 $ z $ が単位円 $ |z|=1 $ を一周するとき， $ f(z) $ が描く曲線は， $ xy $ 平面で $ \theta $ を媒介変数として， \[ \left\{ \begin{array}{l} x(\theta)=\cos\theta-\dfrac{1}{n+1}\cos(n+1)\theta\\ y(\theta)=\sin\theta-\dfrac{1}{n+1}\sin(n+1)\theta \end{array} \right.\quad \left(0\leqq \theta\leqq 2\pi \right) \] と表される．よってその長さ $ l $ は，定積分 \[ \int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta} \right)^2}\,d\theta \] で与えられる．ここで \begin{eqnarray*} \left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta} \right)^2&=& \left\{-\sin\theta+\sin(n+1)\theta \right\}^2+\left\{\cos\theta-\cos(n+1)\theta \right\}^2\\ &=&2-2\sin\theta\sin(n+1)\theta-2\cos\theta\cos(n+1)\theta\\ &=&2-2\cos n\theta=4\sin^2\dfrac{n}{2}\theta \end{eqnarray*} なので， \[ l=\int_0^{2\pi}2\left|\sin\dfrac{n}{2}\theta \right|\,d\theta \] $t=\dfrac{n}{2}\theta$と置換することにより $ l $ を求める． \begin{eqnarray*} l&=&2\int_0^{n\pi}\left|\sin t\right|\,\dfrac{2}{n}dt =\dfrac{4}{n}\int_0^{n\pi}\left|\sin t\right|\,dt\\ &=&\dfrac{4}{n}\cdot n\int_0^{\pi}\sin t\,dt =4\biggl[-\cos t\biggr]_0^{\pi}=8 \end{eqnarray*} である．

この曲線は外サイクロイドである．
『数学対話』の中の「光線の包絡線」の「 外サイクロイドと内サイクロイド」を参照のこと．

問題