2016年入試問題研究に戻る首都大
$a$ と $b$ を $0\leqq a\leqq 1$，$0\leqq b< 1$を満たす定数とする． 数列 $\{a_n\}$ を次の条件によって定める． \[ a_1=a,\ \quad a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left({a_n}^2+b \right)\quad (n=1,\ 2,\ 3\ \cdots) \] $c=1-\sqrt{1-b}$ とおく．
(1) $0\leqq a_n\leqq 1$ が成り立つことをしめせ．
(2) $a_{n+1}-c=\dfrac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$ が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$ が成り立つことを示せ．