2017年入試問題研究に戻る順天堂大3番解答
(1) $-\infty < a,\ b<\infty$の実数$a$と$b$に対して， \begin{eqnarray*} &&f\left(\dfrac{a+b}{2} \right)-\dfrac{f(a)+f(b)}{2} =-\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2-\dfrac{-a^2-b^2}{2}\\ &=&-\dfrac{1}{4}\left(-a^2-2ab-b^2+2a^2+2b^2\right)=\dfrac{1}{4}(a-b)^2\geqq 0 \end{eqnarray*} である．よって$f\left(\dfrac{a+b}{2} \right)\geqq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$が成立し，この$f(x)$は性質($\mathrm{A}$)を持つ． また$a=b$のとき等号が成立する．
(2) $k$に関し，$2^k$個の文字の個数に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のときは関数$f(x)$が区間Iにおいて性質($\mathrm{A}$)を持つことより成立する．
$k$のとき成立するとする．つまり$2^k$個なら成立とする．
$k+1$のとき
\begin{eqnarray*} &&f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}} \right)\\ &=&f\left\{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k}}}{2^k}+\dfrac{a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^k}\right) \right\}\\ (性質(\mathrm{A})より)&\geqq &\dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k}}}{2^k}\right) +f\left(\dfrac{a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^k}\right) \right\}\\ (帰納法の仮定より)&\geqq &\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2^{k}})}{2^k}\right.\\ &&\quad \quad \quad \quad \left. +\dfrac{f(a_{2^k+1})+f(a_{2^k+2})+\cdots+f(a_{2^{k+1}})}{2^k}\right)\\ &=&\dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2^{k+1}})}{2^{k+1}} \end{eqnarray*} よって$k+1$のときも成立し，すべての自然数$k$に対して$n=2^k$のとき(B)が成立する．(3) $i=1,\ \cdots,\ n$に対して$\displaystyle \dfrac{i}{n}\in [0,\ 1]$なので， $n=2^k$のとき(2)から， \[ \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^nf\left(\dfrac{j}{n}\right)\le f\left(\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n\dfrac{j}{n}\right)=f\left(\dfrac{n+1}{2n} \right) \quad \cdots(1) \] が成り立つ． 関数$f(x)$は連続であるから，自然数$n$に対して， \begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^nf\left(\dfrac{j}{n}\right)=\int_0^1f(x)\,dx\\ &&\lim_{n \to \infty}f\left(\dfrac{n+1}{2n} \right) =f\left(\lim_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{2n} \right)=f\left(\dfrac{1}{2} \right) \end{eqnarray*} がそれぞれ成り立つ．
$(1)$において，$k\to \infty$とする．このとき$n\to \infty$である． 従って，不等式 \[ \int_0^1f(x)\,dx\leqq f\left(\dfrac{1}{2} \right) \] が成り立つ．別解 $x\in [0,\ 1]$とすると$1-x\in [0,\ 1]$である．したがって， \[ \dfrac{f(x)+f(1-x)}{2}\leqq f\left(\dfrac{x+1-x}{2}\right) =f\left(\dfrac{1}{2}\right) \] が成り立つ．これから \[ \dfrac{1}{2}\int_0^1\{f(x)+f(1-x)\}\,dx\leqq \int_0^1f\left(\dfrac{1}{2}\right)\,dx=f\left(\dfrac{1}{2}\right) \] が成り立つ．ここで$t=1-x$と置換すると， \[ \int_0^1f(1-x)\,dx=\int_1^0f(t)\,(-1)dt=\int_0^1f(t)\,dt \] なので，不等式 \[ \int_0^1f(x)\,dx\leqq f\left(\dfrac{1}{2} \right) \] が成り立つ．