2017年入試問題研究に戻る京大理系6番解答
$ X\equiv 0\quad (\bmod \ 3) $ となる確率を $ p_n $ ， $ X\equiv 1\quad (\bmod \ 3) $ となる確率を $ q_n $ ， $ X\equiv 2\quad (\bmod \ 3) $ となる確率を $ r_n $ とする． $ p_n+q_n+r_n=1 $ である． 0以上の整数 $ n $ に対して， $ 10^n\equiv 1\quad (\bmod \ 3) $ であるから， $ X $ と， $ X $ の各桁の数の合計とは，3を法として合同である． したがって，試行の条件から漸化式 \[ p_{n+1}=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{2}{5}q_n+\dfrac{2}{5}r_n =\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{2}{5}(1-p_n)=-\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{2}{5} \] が成り立つ．これから \[ p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{5}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right) \] となる．また $ p_1=\dfrac{1}{5} $ なので， \[ p_n-\dfrac{1}{3}=\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right) \] よって \[ p_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n \]